GEOMETRIA ANALÍTICA Plano Cartesiano - ENEM 2020

GEOMETRIA ANALÍTICA

1. O PLANO CARTESIANO

A cada ponto P do plano cartesiano corresponde um par ordenado ( x, y ) de números reais e escrevemos P( x, y ) para indicar este ponto.

Dois eixos orientados ( x e y ) são dispostos ortogonalmente, dando a origem à divisão do plano em quatro partes, cada uma denominada quadrante. Os quatro quadrantes são numerados no sentido anti-horário, e os eixos e a intersecção entre eles são denominados, respectivamente, eixo das abscissas ( x ), eixo das ordenadas ( y ) e origem ( 0 ) do sistema de coordenadas cartesianas.

A reta que divide ao meio os quadrantes ímpares é chamada de bissetriz dos quadrantes ímpares e a que divide os quadrantes pares é a bissetriz dos quadrantes pares.

Observações:

                   I.    Os pontos pertencentes ao eixo 0x possuem ordenadas nulas.

P Є 0x « P = ( x, 0 )

                    II.   Os pontos pertencentes ao eixo 0y possuem abscissas nulas.

P Є 0y « P = ( 0, y )

                    III.                        Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes ímpares possuem abscissas iguais à ordenada e vice-versa.

A Є b_i « A = ( a, a )

      IV.     Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes pares possuem abscissas e ordenadas opostas e vice-versa,

B Є b_p « B = ( b, -b )

EXERCÍCIOS

1.  Situe no mesmo sistema de eixos cartesianos os pontos A(3, 4), B(-2, 3), C(2, 0), D(0, -3)

E($-\frac{3}{2}$, - 5), F(-1, 1) E G(2, -2).

2.        Determine o valor de k, sabendo que o ponto A( 2k-1, - k+2 ) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.

   

3.        O ponto P( 3k+6, -k+2 ) pertence à bissetriz dos quadrantes pares, pergunta-se:

a)       Qual a ordenada do ponto P?

b)       Em que quadrante encontra-se o ponto P?

c)   Qual a distância do ponto P à origem?

02. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

Dados dois pontos distintos do plano cartesiano, chama-se distância entre eles a medida do segmento de reta que tem os dois pontos por extremidade. Sendo A(x_a, y_a) e B(x_b, y_b), aplicando Pitágoras temos:

$\boxed{d_{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}}$

EXERCÍCIOS

1.        Sejam os ponto A(-3, 1) e B(4, 3). A distância entre eles é

a)      10

b) $\sqrt{15}$     

c)  $\sqrt{53}$

d)      2

e)      16

2.        A distância entre A(1, 3) e B(5, 6) é:

a)      5

b)      10

c)      15

d)      20

e)      25

3.        (UFRGS) A distância entre os pontos A(-2, y) e B(6, 7) é 10. O valor de y é:

a)      -1

b)      0

c)      1 ou 13

d)      -1 ou 10

e)      2 ou 12

4.        Qual o ponto do eixo das ordenadas que eqüidista dos pontos A(2, -1) e B(6, 3)?

a)      (0,5)

b)      (5,0)

c)      (2,3)

d)      (6,2)

e)      (-1,0)

  

 1.        O comprimento da circunferência de diâmetro CD, sendo C(2, 1) e D(10, 7) é:

a)      5p

b)      10p

c)      20p

d)      17p

e)      29p

03. PONTO MÉDIO

Sendo A(x_a, y_a), B(x_b, y_b) e M( x_M, y_M ) o seu ponto médio, temos

 M é o ponto que divide o segmento AB ao meio.

$\boxed{M=(\frac{X_A+X_B}{2},\frac{Y_A+Y_B}{2})}$

EXERCÍCIOS

1.        Sendo A(1, 3) e B(7, 13) as extremidades do segmento AB, seu ponto médio é:

a)       (4, 8)

b)       (2, 4)

c)       (8, 16)

d)       (1, 2)

e)       (3, 4)

2.        Sendo A(-5, 2) uma das extremidades do segmento de reta AB e M(-2, 4) o seu ponto médio, o ponto B vale:

a)       (1, 6)

b)       (2, 12)

c)       (-5, 4)

d)       (-2, 2)

e)       (0, 1)

04. ÁREA DE UM TRIÂNGULO

Consideramos um triângulo de vértices A($x_A, y_A$), B($x_B, y_B$) e C($x_C, y_C$) a sua área é dada por:

$A=\boxed{\frac{1}{2}*|D|}$


$D=\left| \begin{array}{rcr}x_A & y_A &1 \\ x_B &y_B &1\\ x_C &y_C & 1 \end{array} \right|$

EXERCÍCIOS

1. Calcular a área do triângulo de vértices A(1,3), B(4,1) e C(6,5).


a) 16
b) 4
c) 10
d) 12
e) 8

2. Calcular a área do triângulo de vértices A(1,1), B(7,8) e C(1,10).

a) 27
b) 54
c) 32
d) 19
e) 43


3. Calcular a área do quadrilátero de vértices A(1,3), B(5,1), C(6,5) e D(3,7).
a) 17
b) 34
c) 10
d) 6
e) 8

05. CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS

Sendo  A($x_A, y_A$), B($x_B, y_B$) e C($x_C, y_C$) três pontos distintos dois a dois, são colineares ou estão alinhados, se  e somente se:

$\boxed{|D|=0}$

$\left| \begin{array}{rcr}x_A & y_A &1 \\ x_B &y_B &1\\ x_C &y_C & 1 \end{array} \right|=0$

EXERCÍCIOS

14. O valor de x para que os pontos A(x,0), B(3,1) e C(-4,2) sejam colineares é:

a) 0

b) 10

c) 3

d) 12

e)  -4 

1. Os pontos (1,3), (2,7) e (4,k) do plano cartesiano estão alinhados se, e somente se:

a) k = 11

b) k = 12

c) k = 13

d) k = 14

e) k = 15 

Bons estudos para todos!