Probabilidade e Estatística

Probabilidade e Estatística

Por que estudar estatística?

“Há apenas quinze anos, o estudante que tivesse um curso de estatística levava vantagem no mercado de trabalho; o estudante de hoje leva uma desvantagem competitiva se não tiver estudado os conceitos básicos da estatística”.

Teoria dos Conjuntos

Qualquer coleção de objetos é chamada de conjunto. Esses objetos podem ser chamados de elementos.

$p\in$A

$p\in$B

$A\subset$B ou $B\supset$A

Dois conjuntos são iguais se cada um deles está contido no outro:                 

A=B $\Leftrightarrow$ $A\subset\,B$ e $B\subset\,A$

  Exemplos de negações:

$p\in$A  A⊄B e A≠B

C   é um conjunto vazio ( $\Phi$) pois não possui elementos.

Temos:    $\Phi$⊂ C ⊂ U

• Intervalo aberto de  a  e b = (a,b) = {x: a<x<b}

• Intervalo fechado de  a e b =[a,b]={x:a≤x≤b}

• Intervalo aberto-fechado de  a e b  =(a,b] ={x:a<x≤b} 

• Intervalo fechado-aberto de  a e b  =[a,b)={x:a≤x<b}   

Operações com Conjuntos

• Conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B:

A∪B={x:x∈A ou x∈B}

Conjunto dos elementos que pertencem a A e B:

A ∩B={x : x∈A e x∈B}

Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.

Conjunto dos elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B (diferença de A e B ou seja A/B)

A/B={x:x∈A e x∉B}

Conjunto dos elementos que não pertencem a B:

$B^C$={x:x∈ U, X∉ B}

Especificidade de um conjunto particular:

            A={1,3,5,7} A é o conjunto formado pelos números 1, 3, 5 e 7.

Especificidade estabelecendo uma propriedade:

B={x|x é um número primo, x<12}              B é o conjunto dos números primos menores que 12.

Obs.: Todos os conjuntos são supostos subconjuntos do conjunto universo (U) a menos que seja afirmado o contrário.

Noções de intervalos:Aqui  a e  b são números reais com  .a<b.

Conjuntos Finitos e Enumeráveis

• Seja S o conjunto dos dias da semana {segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo}

O conjunto S é finito

• Seja Y o conjunto dos inteiros pares positivos, é:  

O conjunto Y é infinito

Produto Cartesiano

Sejam A e B dois conjuntos. O produto cartesiano de A por B, representado por A x B, consiste de todos os pares ordenados (a, b), onde a ∈ A   e b ∈ B:

 :

A x B =  {(a,b): a ∈ A, b ∈ B}

Ex.: Sejam A= {1, 2, 3} e B = {a, b}. Então 

A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}.

Classes de Conjuntos

Constantemente, os elementos de um conjunto, são eles mesmos conjuntos. Para elucidar estas situações, são usadas a palavra classe ou família para tais conjuntos.

•Os elementos da classe {{2, 3}, {2}, {5, 6}} são os conjuntos {2, 3}, {2} e {5, 6}.

•Consideremos um conjunto A qualquer.  O conjunto das partes de A, representado por P(A), é a classe de todos os subconjuntos de A. Em particular, se A= {a, b, c} então:

P(A) = {A, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a}, {b}, {c},  }

•Dado um conjunto A= {1, 2, ..., 9}, uma classe de subconjuntos de A é uma partição se cada elemento de A pertence exatamente a uma parte:

a- [{1, 3, 5}, {2, 4, 6, 8}, {7, 9}]   é uma partição de A

b- [{1, 3, 5}, {2, 6}, {4, 8, 9}] não é uma partição de A (falta o elemento 7)

c- [{1, 3, 5}, {2, 4, 6, 8}, {5, 7, 9}] não é uma partição de A (repete o elemento 5)