POTÊNCIAS E LOGARITMOS DE BASE "e" ENEM 2020

POTÊNCIAS E LOGARITMOS DE BASE "e".

O número "e" é hoje considerado um dos números mais úteis e importantes da Matemática. Funções envolvendo potências de e ou, equivalentemente, logaritmos na base e, são muito utilizadas na Matemática Aplicada . Estas funções surgem naturalmente em muitos ramos do conhecimento humano, em problemas de origem as mais diversas, tais como: cálculo do tamanho de populações (Demografia), valor de investimentos (Finanças), idade de antiguidades (Arqueologia), problemas de aprendizagem (tratados pela Psicologia), etc. Daí serem os logaritmos na base e, chamados de logaritmos naturais.

Várias são as maneiras de se introduzir logaritmos e potências na base e. Nós o faremos de maneira pouco formal e (esperamos que seja!) mais atraente. Inicialmente, como motivação, usaremos um problema de juros, através do qual definiremos esse número Falaremos em seguida nas funções exponencial e logarítmica na base e. Finalmente, veremos aplicações às várias áreas do conhecimento.

UM PROBLEMA DE JUROS CONTÍNUOS E O NÚMERO e.

Suponhamos que o capital Co é empregado à taxa de i % ao ano, de sorte que se retirado após uma fração p/q do ano, os juros J sejam proporcionais a esta fração, isto é, sejam iguais a  

$\boxed{J=\frac{p}{q}*\frac{i}{100}*{C_0}}$

Vamos analisar os juros obtidos e, consequentemente o montante de um certo capital C_o aplicado á taxa de 100% ao ano, após um ano, nas seguintes situações:

1ª Situação: O capital só é retirado ao final de um ano. Após 1 ano os juros são iguais

$J=\frac{100}{100}*C_0$=$C_0$

O montante é igual a

$C_1 = C_0 + J = C_0$ +$\frac{100}{100}C_0$=$2C_0$

2ª Situação: O capital é retirado após 6 meses, ou seja, ½ ano, e reaplicado à mesma taxa: Após 6 meses os juros são iguais a:

$J=\frac{1}{2}*\frac{100}{100}*{C_0}$=$\frac{C_0}{2}$


$C_1$ = $C_0$+$\frac{C_0}{2}$ = $C_0$ *( $\frac{1}{2}$)

Reaplicando este capital mais 6 meses, à mesma taxa, ao final de 1 ano o novo capital é:

$C_2$=$C_1\frac{1}{2}$*$\frac{100}{100}*C_1$= $C_1$ *(1+$\frac{1}{2}$ )= $C_0$*( 1+$\frac{1}{2})^2$

3ª Situação: De 4 em 4 meses (1/3 do ano), o capital é retirado e reaplicado à mesma taxa:

Após o primeiro período o capital é igual a :

$C_1$=$C_0$+$\frac{1}{3}$*$C_0$= $C_0 $*(1+$\frac{1}{3}$ )

Após o segundo período o capital é igual a

$C_2$=$C_1$+$\frac{1}{3}$*$C_1$=  $C_0$*( 1+$\frac{1}{3})^2$

Após o terceiro período o capital é:

$C_3$=$C_2$+$\frac{1}{3}$*$C_2$= $C_2$ *(1+$\frac{1}{3}$ )= $C_0$*( 1+$\frac{1}{3})^3$

Vamos comparar as três situações:


1ª) $C_1$=$C_0$(1+1)=2$C_0$
2ª) $C_2$=$C_0$(1+$\frac{1}{2})^2$=$C_0$(1+1+$\frac{1}{4})$=$C_0$(2,250)
3ª)$C_3$=$C_0$(1+$\frac{1}{3})^3$=$C_0$(1+3*$\frac{1}{3}$+3*$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{27})$=$C_0$(2,37037...)

Isto significa que a 3a situação é a mais vantajosa! Um aplicador exigente vai querer que os períodos de capitalização sejam cada vez menores.

Suponhamos agora que o ano seja dividido em n partes iguais.

Decorrido o 1º período, os juros são iguais a $\frac{1}{n}*$C_0$ e o capital é

$C_1$=$C_0$+$\frac{1}{n}*C_0$=$C_0$(1+$\frac{1}{n})$


Se após cada um desses períodos os juros são capitalizados, ao final de um ano, isto é, após n períodos, o capital é igual a:

$C_n$=$C_0$(1+$\frac{1}{n})^n$

Assim como nas situações 1, 2 e 3, a seqüência  $C_n$=$C_0$(1+$\frac{1}{n})^n$  é crescente, isto é,

$n_1$ > $n_2$ ⇒ $(1+\frac{1}{n_1})^{n_1}$ > $(1+\frac{1}{n_2})^{n_2}$
Um aplicador exigente deve querer que os juros sejam capitalizados mais vezes possível, ou seja, capitalizados a cada instante. Assim, o capital ao final de um ano deverá ser

C= $C_0$ $\lim_{x \to \infty}$ (1+$\frac{1}{n})^n$

A sequência (1+$\frac{1}{n})^n$ é crescente. Podemos até pensar que (1+$\frac{1}{n})^n$ pode ser tão grande quanto se queira e, consequentemente, ao final do ano, o capital pode ser bastante grande, bastando para isto que os juros sejam capitalizados mais vezes. Mas não é isto o que acontece! Pode-se mostrar que, para qualquer valor de n$\in\mathbb{N}$ , temos

2$\leq$ (1+$\frac{1}{n})^n$ < 3

Portanto por mais vezes que os juros sejam capitalizados, ao final do ano, o capital não excede a 3$C_0$ , o triplo do capital inicial.

A esta altura faz sentido a seguinte pergunta: Que interpretação se pode dar à seguinte expressão:

 $\lim_{x \to \infty}$(1+$\frac{1}{n})^n$ ? Vejamos:

Para responder à pergunta formulada, usamos o fato que para todo n,

2$\leq$ (1+$\frac{1}{n})^n$ < 3

juntamente com o fato que  a sequência $(1+$\frac{1}{n})^n$ é crescente. Concluímos daí que existe um número real, que indicamos por e, tal que

 $e=\lim_{x \to \infty}$(1+$\frac{1}{n})^n$ e 2< $e$ <3

Dizemos que o capital C, obtido quando C0 for empregado durante um ano, à  uma taxa de 100% ao ano, a juros contínuos é igual a C = e.C0

Pode-se mostrar que o número e é irracional (e transcendente). A seqüência (1+$\frac{1}{n})^n$ nos oferece aproximações decimais para e. Em geral, toma-se a aproximação:

 $\boxed{e=2,718}$

Mais geral que o fato de   $\lim_{x \to \infty}$(1+$\frac{1}{n})^n$ = e para n Î N*, é que $\lim_{x \to \infty}$(1+$\frac{1}{x})^x$ = e para x Π$\mathbb{R}_{+}$*

Até mais ! bons estudos.

Leia mais na postagem casos contínuos

Fonte;

Jesus, A.; Prates, E.; Vergasta, E.; Dominguez, G.; Freire, I.; Gomes, M.; Mascarenhas, M.