Matrizes - ENEM -Teoria

Definição

Uma matriz real $A$ de ordem $m \times n$ é uma tabela de $m n$ números reais, dispostos em $m$ linhas e $n$ colunas, onde $m$ e $n$ sâo números inteiros positivos.

Uma matriz real de $m$ linhas e $n$ colunas pode ser representada por $A_{m \times n}(\mathbb{R}) .$ Neste curso, como só trabalharemos com matrizes reais, usaremos a notaçäo simplificada $A_{m \times n},$ que se lê "A m por n". Também podemos escrever $A=\left(a_{i j}\right),$ onde $i \in\{1, \ldots, m\}$ é o indice de linha e $j \in\{1, \ldots, n\} é$ o indice de coluna do termo genérico da matriz. Representamos o conjunto

de todas as matrizes reais "m por n'por $M_{m \times n}(\mathbb{R})$. Escrevemos os elementos de uma matriz limitados por parênteses, colchetes ou barras duplas.

Exemplo 1

$\begin{array}{ll}{\text { 1. Uma matriz } 3 \times 2:} & {\left[\begin{array}{rr}{2} & {-3} \\ {1} & {0} \\ {\sqrt{2}} & {17}\end{array}\right]}\end{array}$

2. Uma matriz $2 \times 2:\left(\begin{array}{rr}{5} & {3} \\ {-1} & {1 / 2}\end{array}\right)$

3. Uma matriz $3 \times 1: \quad\left\|\begin{array}{r}{-4} \\ {0} \\ {11}\end{array}\right\|$

De acordo com o número de linhas e colunas de uma matriz, podemos

destacar os seguintes casos particulares:

$\cdot m=1:$ matriz linha

$\cdot n=1:$ matriz coluna

$\bullet m=n:$ matriz quadrada. Neste caso, escrevemos apenas $A_{n}$ e dizemos que "A é uma matriz quadrada de ordem $n^{\prime \prime} .$ Representamos o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem $n$ por $M_{n}(\mathbb{R})$ (ou, simplesmente, por $\left.M_{n}\right)$

Exemplo 2

1. matriz linha

$1 \times 4:\left[\begin{array}{llll}{2} & {-3} & {4} & {1 / 5}\end{array}\right]$

2. matriz coluna $3 \times 1:\left[\begin{array}{c}{4} \\ {17} \\ {0}\end{array}\right]$

3. matriz quadrada de ordem 2: $\left[\begin{array}{rr}{1} & {-2} \\ {5} & {7}\end{array}\right]$ Os elementos de uma matriz podem ser dados também por fórmulas, como ilustra o próximo exemplo.

Exemplo 3 

Vamos construir a matriz $A \in M_{2 \times 4}(\mathbb{R}), A=\left(a_{i j}\right),$ tal que

$a_{i j}=\left\{\begin{array}{l}{i^{2}+j, \text { se } i=j} \\ {i-2 j, \text { se } i \neq j}\end{array}\right.$

A matriz procurada é do tipo $A=\left[\begin{array}{llll}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} & {a_{14}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} & {a_{24}}\end{array}\right]$

Seguindo a regra de formaçäo dessa matriz, temos:

$\begin{aligned} a_{11}=1^{2}+1=2 & & a_{12} &=1-2(2)=-3 \\ a_{22}=2^{2}+2=6 & & a_{13}=1-2(3) &=-5 \\ & a_{14} &=1-2(4) &=-7 \\ a_{21} &=2-2(1) &=0 \\ a_{23} &=2-2(3) &=-4 \end{aligned}$

$\log \mathrm{o}, A=\left[\begin{array}{cccc}{2} & {-3} & {-5} & {-7} \\ {0} & {6} & {-4} & {-6}\end{array}\right]$

Igualdade de matrizes

O próximo passo é estabelecer um critério que nos permita decidir se duas matrizes säo ou näo iguais. Temos a seguinte definiç\tilde{ao: }

Duas matrizes $A, B \in M_{m \times n}(\mathbb{R}), \quad A=\left(a_{i j}\right), B=\left(b_{i j}\right),$ säo iguais quando $a_{i j}=b_{i j}, \forall i \in\{1, \ldots, m\}, \forall j \in\{1, \ldots, n\}$

Exemplo 4

Vamos determinar $a, b, c$ e $d$ para que as matrizes $\left[\begin{array}{cc}{2 a} & {3 b} \\ {c+d} & {6}\end{array}\right]$ e $\left[\begin{array}{cc}{4} & {-9} \\ {1} & {2 c}\end{array}\right]$

sejam iguais. Pela definiç\tilde{ao de igualdade de matrizes, podemos escrever: 

$\left[\begin{array}{cc}

{2 a} & {3 b} \\

{c+d} & {6}

\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}

{4} & {-9} \\

{1} & {2 c}

\end{array}\right] \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}

{2 a=4} \\

{3 b=-9} \\

{c+d=1} \\

{6=2 c}

\end{array}\right.$

Daí, obtemos $a=2, b=-3, c=3$ e $d=-2$

Numa matriz quadrada $A=\left(a_{i j}\right), i, j \in\{1, \ldots n\},$ destacamos os seguintes elementos:

$\cdot$ diagonal principal: formada pelos termos $a_{i i}$ (isto é, pelos termos com indices de linha e de coluna iguais).

$\cdot$ diagonal secundária: formada pelos termos $a_{i j}$ tais que $i+j=n$

Exemplo 5

Seja

$A=\left(\begin{array}{rrrr}

{3} & {-2} & {0} & {1} \\

{5} & {3} & {-2} & {7} \\

{1 / 2} & {-3} & {\pi} & {14} \\

{-5} & {0} & {-1} & {6}

\end{array}\right)$

A diagonal principal de $A$ é formada por: $3,3, \pi, 6$
A diagonal secundária de $A$ é formada por: $1,-2,-3,-5$

Matrizes quadradas especiais

No conjunto das matrizes quadradas de ordem $n$ podemos destacar alguns tipos especiais. Seja $A=\left(a_{i j}\right) \in M_{n}(\mathbb{R}) .$ Dizemos que $A$ é uma matriz

$\bullet$ triangular superior, quando $a_{i j}=0$ se $i>j$ (isto é, possui todos os elementos abaixo da diagonal principal nulos).

$\cdot$ triangular inferior, quando $a_{i j}=0$ se $i<j$ (isto é, possui todos os elementos acima da diagonal principal nulos).

$\bullet$ diagonal, quando $a_{i j}=0$ se $i \neq j$ (isto é, possui todos os elementos fora da diagonal principal nulos). Uma matriz diagonal é, ao mesmo

tempo, triangular superior e triangular inferior.

escalar, quando $\left[\begin{array}{cc}0,\text{se}\,i\neq{j}\\k,\text{se}\,i=j\end{array}\right.$,  $\text { para algum } k \in \mathbb{R}$.
Isto é , uma matriz escalar é diagonal e possui todos os elementos da diagonal principal iguais a um certo escalar k.

$\bullet$identidade, quando 
a_{ij}=$\left[\begin{array}{cc}0,\text{se}\,i\neq{j}\\1,\text{se}\,i=j\end{array}\right.$,  $\text { para algum } k \in \mathbb{R}$.  Isto é, a identidade é uma matriz escalar e possui todos os elementos da diagonal principal iguais a $1 .$ Representamos a matriz identidade de ordem $n$ por $I_{n}$

Exemplo 6

Matriz   e Classificação

$\left[\begin{array}{lll}{4} & {1} & {2} \\ {0} & {6} & {3} \\ {0} & {0} & {9}\end{array}\right]$

triangular superior

$\left[\begin{array}{lll}{2} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {3} \\ {0} & {0} & {0}\end{array}\right]$ 

 triangular superior

$\left[\begin{array}{lll}{1} & {0} & {0} \\ {0} & {4} & {0} \\ {0} & {0} & {0}\end{array}\right]$

triangular superior, triangular inferior, diagonal

$\left[\begin{array}{cc}{0} & {0} \\ {-3} & {0}\end{array}\right]$

triangular inferior

$\left[\begin{array}{ll}{0} & {0}\\ {0} & {0}\end{array}\right]$

triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar

$\left[\begin{array}{ll}{5} & {0} \\ {0} & {5}\end{array}\right]$

triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar

Exemplo 7

Sâo matrizes identidade:

$I_{1}=[1] ; \quad I_{2}=\left[\begin{array}{cc}{1} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right] ; \quad I_{3}=\left[\begin{array}{ccc}{1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right] ; \quad I_{4}=\left[\begin{array}{cccc}{1} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1}\end{array}\right]$

De modo geral, sendo $n$ um número natural maior que $1,$ a matriz



identidade de ordem $n$ é


$I_{n}=\left[\begin{array}{cccccc}

{1} & {0} & {0} & {\dots} & {0} & {0} \\

{0} & {1} & {0} & {\dots} & {0} & {0} \\

{0} & {0} & {1} & {\dots} & {0} & {0} \\

{\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} \\

{0} & {0} & {0} & {\dots} & {1} & {0} \\

{0} & {0} & {0} & {\dots} & {0} & {1}

\end{array}\right]$

Definiçäo

A matriz nula em $M_{m \times n}(\mathbb{R})$ é a matriz de ordem $m \times n$ que possui todos os elementos iguais a zero.

Exemplo 8

Matriz nula 

$2 \times 3:\left[\begin{array}{lll}{0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ll}{0} & {0} \\ {0} & {0} \\ {0} & {0} \\ {0} & {0} \\ {0} & {0}\end{array}\right]$ Matriz nula $5 \times 2$


Definiçâo Dada $A=\left(a_{i j}\right) \in M_{m \times n}(\mathbb{R}),$ a oposta de $A$ é a matriz $B=\left(b_{i j}\right) \in M_{m \times n}(\mathbb{R})$


tal que $b_{i j}=-a_{i j}, \forall i \in\{1, \ldots, m\}, \forall j \in\{1, \ldots, n\} .$ Ou seja, os elementos da matriz oposta de $A$ säo os elementos opostos aos elementos de $A .$

Representamos a oposta de $A$ por $-A .$

Exemplo 9

A oposta da matriz $A=\left[\begin{array}{rrr}{3} & {-1} & {0} \\ {2} & {\sqrt{3}} & {4} \\ {1} & {0} & {-8} \\ {-6} & {10} & {-2}\end{array}\right]$ é matriz $-A=\left[\begin{array}{rrr}

{-3} & {1} & {0} \\

{-2} & {-\sqrt{3}} & {-4} \\

{-1} & {0} & {8} \\

{6} & {-10} & {2}

\end{array}\right]$

Falando em miúdos

Nesta aula vimos o conceito de matriz e conhecemos seus tipos especiais.

Aprendemos a comparar duas matrizes, a identificar a matriz nula e a obter a oposta de uma matriz. Também vimos algumas matrizes quadradas

que se destacam por suas características e que serão especialmente úteis no desenvolvimento da teoria.

Exercícios

1. Escreva a matriz $A=\left(a_{i j}\right)$ em cada caso:
(a) $A$ é do tipo $2 \times 3,$ e $a_{i j}=\left\{\begin{array}{l}{3 i+j, \text { se } i=j} \\ {i-2 j, \text { se } i \neq j}\end{array}\right.$
(b) $A$ é quadrada de ordem 4 e $a_{i j}=\left\{\begin{array}{l}{2 i, \text { se } i<j} \\ {i-j, \text { se } i=j} \\ {2 j, \text { se } i>j}\end{array}\right.$
(c) $A$ é do tipo $4 \times 2,$ e $a_{i j}=\left\{\begin{array}{l}{0, \text { se } i \neq j} \\ {3, \text { se } i=j}\end{array}\right.$

(d) $A$ é quadrada terceira ordem e $a_{i j}=3 i-j+2$


2. Determine $x$ e $y$ tais que

(a)$\left[\begin{array}{l}{2x+y}\\{2 x-y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}{11} \\ {9}\end{array}\right]$

(b) $\left[\begin{array}{cc}{x^{2}} & {y} \\ {x} & {y^{2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}{1} & {-1} \\ {-1} & {1}\end{array}\right]$

Respostas dos exercíos

1. $\left(\text { a) }\left[\begin{array}{rrr}{4} & {-3} & {-5} \\ {0} & {8} & {-4}\end{array}\right]\right.$
(b) $\left[\begin{array}{llll}{0} & {2} & {2} & {2} \\ {2} & {0} & {4} & {4} \\ {2} & {4} & {0} & {6} \\ {2} & {4} & {6} & {0}\end{array}\right]$
$(\mathrm{c})\left[\begin{array}{ll}{3} & {0} \\ {0} & {3} \\ {0} & {0} \\ {0} & {0}\end{array}\right]$
$(\mathrm{d})\left[\begin{array}{rrr}{4} & {1} & {2} \\ {7} & {6} & {5} \\ {10} & {9} & {8}\end{array}\right]$
2. $(\text { a) } x=5 ; y=1$

(b) $x=y=-1$


Bons Estudos !!
Não esqueçam de deixar seus comentários!