Definição
Uma matriz real A de ordem m \times n é uma tabela de m n números reais, dispostos em m linhas e n colunas, onde m e n sâo números inteiros positivos.
Uma matriz real de m linhas e n colunas pode ser representada por A_{m \times n}(\mathbb{R}) . Neste curso, como só trabalharemos com matrizes reais, usaremos a notaçäo simplificada A_{m \times n}, que se lê "A m por n". Também podemos escrever A=\left(a_{i j}\right), onde i \in\{1, \ldots, m\} é o indice de linha e j \in\{1, \ldots, n\} é o indice de coluna do termo genérico da matriz. Representamos o conjunto
de todas as matrizes reais "m por n'por M_{m \times n}(\mathbb{R}). Escrevemos os elementos de uma matriz limitados por parênteses, colchetes ou barras duplas.
Exemplo 1
\begin{array}{ll}{\text { 1. Uma matriz } 3 \times 2:} & {\left[\begin{array}{rr}{2} & {-3} \\ {1} & {0} \\ {\sqrt{2}} & {17}\end{array}\right]}\end{array}
2. Uma matriz 2 \times 2:\left(\begin{array}{rr}{5} & {3} \\ {-1} & {1 / 2}\end{array}\right)
3. Uma matriz 3 \times 1: \quad\left\|\begin{array}{r}{-4} \\ {0} \\ {11}\end{array}\right\|
De acordo com o número de linhas e colunas de uma matriz, podemos
destacar os seguintes casos particulares:
\cdot m=1: matriz linha
\cdot n=1: matriz coluna
\bullet m=n: matriz quadrada. Neste caso, escrevemos apenas A_{n} e dizemos que "A é uma matriz quadrada de ordem n^{\prime \prime} . Representamos o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem n por M_{n}(\mathbb{R}) (ou, simplesmente, por \left.M_{n}\right)
Exemplo 2
1. matriz linha
1 \times 4:\left[\begin{array}{llll}{2} & {-3} & {4} & {1 / 5}\end{array}\right]
2. matriz coluna 3 \times 1:\left[\begin{array}{c}{4} \\ {17} \\ {0}\end{array}\right]
3. matriz quadrada de ordem 2: \left[\begin{array}{rr}{1} & {-2} \\ {5} & {7}\end{array}\right] Os elementos de uma matriz podem ser dados também por fórmulas, como ilustra o próximo exemplo.
Exemplo 3
Vamos construir a matriz A \in M_{2 \times 4}(\mathbb{R}), A=\left(a_{i j}\right), tal que
A matriz procurada é do tipo A=\left[\begin{array}{llll}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} & {a_{14}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} & {a_{24}}\end{array}\right]
Seguindo a regra de formaçäo dessa matriz, temos:
\begin{aligned} a_{11}=1^{2}+1=2 & & a_{12} &=1-2(2)=-3 \\ a_{22}=2^{2}+2=6 & & a_{13}=1-2(3) &=-5 \\ & a_{14} &=1-2(4) &=-7 \\ a_{21} &=2-2(1) &=0 \\ a_{23} &=2-2(3) &=-4 \end{aligned}
\log \mathrm{o}, A=\left[\begin{array}{cccc}{2} & {-3} & {-5} & {-7} \\ {0} & {6} & {-4} & {-6}\end{array}\right]
Igualdade de matrizes
O próximo passo é estabelecer um critério que nos permita decidir se duas matrizes säo ou näo iguais. Temos a seguinte definiç\tilde{ao: }
Duas matrizes A, B \in M_{m \times n}(\mathbb{R}), \quad A=\left(a_{i j}\right), B=\left(b_{i j}\right), säo iguais quando a_{i j}=b_{i j}, \forall i \in\{1, \ldots, m\}, \forall j \in\{1, \ldots, n\}
Exemplo 4
Vamos determinar a, b, c e d para que as matrizes \left[\begin{array}{cc}{2 a} & {3 b} \\ {c+d} & {6}\end{array}\right] e \left[\begin{array}{cc}{4} & {-9} \\ {1} & {2 c}\end{array}\right]
sejam iguais. Pela definiç\tilde{ao de igualdade de matrizes, podemos escrever:
\left[\begin{array}{cc} {2 a} & {3 b} \\ {c+d} & {6} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} {4} & {-9} \\ {1} & {2 c} \end{array}\right] \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} {2 a=4} \\ {3 b=-9} \\ {c+d=1} \\ {6=2 c} \end{array}\right.
Daí, obtemos a=2, b=-3, c=3 e d=-2
Numa matriz quadrada A=\left(a_{i j}\right), i, j \in\{1, \ldots n\}, destacamos os seguintes elementos:
\cdot diagonal principal: formada pelos termos a_{i i} (isto é, pelos termos com indices de linha e de coluna iguais).
\cdot diagonal secundária: formada pelos termos a_{i j} tais que i+j=n
Exemplo 5
Seja
A=\left(\begin{array}{rrrr} {3} & {-2} & {0} & {1} \\ {5} & {3} & {-2} & {7} \\ {1 / 2} & {-3} & {\pi} & {14} \\ {-5} & {0} & {-1} & {6} \end{array}\right)
A diagonal principal de A é formada por: 3,3, \pi, 6
A diagonal secundária de A é formada por: 1,-2,-3,-5
Matrizes quadradas especiais
No conjunto das matrizes quadradas de ordem n podemos destacar alguns tipos especiais. Seja A=\left(a_{i j}\right) \in M_{n}(\mathbb{R}) . Dizemos que A é uma matriz
\bullet triangular superior, quando a_{i j}=0 se i>j (isto é, possui todos os elementos abaixo da diagonal principal nulos).
\cdot triangular inferior, quando a_{i j}=0 se i<j (isto é, possui todos os elementos acima da diagonal principal nulos).
\bullet diagonal, quando a_{i j}=0 se i \neq j (isto é, possui todos os elementos fora da diagonal principal nulos). Uma matriz diagonal é, ao mesmo
tempo, triangular superior e triangular inferior.
Isto é , uma matriz escalar é diagonal e possui todos os elementos da diagonal principal iguais a um certo escalar k.
\bulletidentidade, quando
a_{ij}=\left[\begin{array}{cc}0,\text{se}\,i\neq{j}\\1,\text{se}\,i=j\end{array}\right., \text { para algum } k \in \mathbb{R}. Isto é, a identidade é uma matriz escalar e possui todos os elementos da diagonal principal iguais a 1 . Representamos a matriz identidade de ordem n por I_{n}
a_{ij}=\left[\begin{array}{cc}0,\text{se}\,i\neq{j}\\1,\text{se}\,i=j\end{array}\right., \text { para algum } k \in \mathbb{R}. Isto é, a identidade é uma matriz escalar e possui todos os elementos da diagonal principal iguais a 1 . Representamos a matriz identidade de ordem n por I_{n}
Exemplo 6
Matriz e Classificação
\left[\begin{array}{lll}{4} & {1} & {2} \\ {0} & {6} & {3} \\ {0} & {0} & {9}\end{array}\right]
triangular superior
\left[\begin{array}{lll}{2} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {3} \\ {0} & {0} & {0}\end{array}\right]
triangular superior
\left[\begin{array}{lll}{1} & {0} & {0} \\ {0} & {4} & {0} \\ {0} & {0} & {0}\end{array}\right]
triangular superior, triangular inferior, diagonal
\left[\begin{array}{cc}{0} & {0} \\ {-3} & {0}\end{array}\right]
triangular inferior
\left[\begin{array}{ll}{0} & {0}\\ {0} & {0}\end{array}\right]
triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar
\left[\begin{array}{ll}{5} & {0} \\ {0} & {5}\end{array}\right]
triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar
Exemplo 7
Sâo matrizes identidade:
I_{1}=[1] ; \quad I_{2}=\left[\begin{array}{cc}{1} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right] ; \quad I_{3}=\left[\begin{array}{ccc}{1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right] ; \quad I_{4}=\left[\begin{array}{cccc}{1} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1}\end{array}\right]
De modo geral, sendo n um número natural maior que 1, a matriz
identidade de ordem n é
I_{n}=\left[\begin{array}{cccccc} {1} & {0} & {0} & {\dots} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {\dots} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {\dots} & {0} & {0} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} \\ {0} & {0} & {0} & {\dots} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {\dots} & {0} & {1} \end{array}\right]
2 \times 3:\left[\begin{array}{lll}{0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0}\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ll}{0} & {0} \\ {0} & {0} \\ {0} & {0} \\ {0} & {0} \\ {0} & {0}\end{array}\right] Matriz nula 5 \times 2
Definiçâo Dada A=\left(a_{i j}\right) \in M_{m \times n}(\mathbb{R}), a oposta de A é a matriz B=\left(b_{i j}\right) \in M_{m \times n}(\mathbb{R})
tal que b_{i j}=-a_{i j}, \forall i \in\{1, \ldots, m\}, \forall j \in\{1, \ldots, n\} . Ou seja, os elementos da matriz oposta de A säo os elementos opostos aos elementos de A .
Representamos a oposta de A por -A .
A oposta da matriz A=\left[\begin{array}{rrr}{3} & {-1} & {0} \\ {2} & {\sqrt{3}} & {4} \\ {1} & {0} & {-8} \\ {-6} & {10} & {-2}\end{array}\right] é matriz -A=\left[\begin{array}{rrr} {-3} & {1} & {0} \\ {-2} & {-\sqrt{3}} & {-4} \\ {-1} & {0} & {8} \\ {6} & {-10} & {2} \end{array}\right]
Falando em miúdos
\left[\begin{array}{lll}{1} & {0} & {0} \\ {0} & {4} & {0} \\ {0} & {0} & {0}\end{array}\right]
triangular superior, triangular inferior, diagonal
\left[\begin{array}{cc}{0} & {0} \\ {-3} & {0}\end{array}\right]
triangular inferior
\left[\begin{array}{ll}{0} & {0}\\ {0} & {0}\end{array}\right]
triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar
\left[\begin{array}{ll}{5} & {0} \\ {0} & {5}\end{array}\right]
triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar
Exemplo 7
Sâo matrizes identidade:
I_{1}=[1] ; \quad I_{2}=\left[\begin{array}{cc}{1} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right] ; \quad I_{3}=\left[\begin{array}{ccc}{1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right] ; \quad I_{4}=\left[\begin{array}{cccc}{1} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1}\end{array}\right]
De modo geral, sendo n um número natural maior que 1, a matriz
identidade de ordem n é
I_{n}=\left[\begin{array}{cccccc} {1} & {0} & {0} & {\dots} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {\dots} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {\dots} & {0} & {0} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} \\ {0} & {0} & {0} & {\dots} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {\dots} & {0} & {1} \end{array}\right]
Definiçäo
A matriz nula em M_{m \times n}(\mathbb{R}) é a matriz de ordem m \times n que possui todos os elementos iguais a zero.Exemplo 8
Matriz nula2 \times 3:\left[\begin{array}{lll}{0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0}\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ll}{0} & {0} \\ {0} & {0} \\ {0} & {0} \\ {0} & {0} \\ {0} & {0}\end{array}\right] Matriz nula 5 \times 2
Definiçâo Dada A=\left(a_{i j}\right) \in M_{m \times n}(\mathbb{R}), a oposta de A é a matriz B=\left(b_{i j}\right) \in M_{m \times n}(\mathbb{R})
tal que b_{i j}=-a_{i j}, \forall i \in\{1, \ldots, m\}, \forall j \in\{1, \ldots, n\} . Ou seja, os elementos da matriz oposta de A säo os elementos opostos aos elementos de A .
Representamos a oposta de A por -A .
Exemplo 9
A oposta da matriz A=\left[\begin{array}{rrr}{3} & {-1} & {0} \\ {2} & {\sqrt{3}} & {4} \\ {1} & {0} & {-8} \\ {-6} & {10} & {-2}\end{array}\right] é matriz -A=\left[\begin{array}{rrr} {-3} & {1} & {0} \\ {-2} & {-\sqrt{3}} & {-4} \\ {-1} & {0} & {8} \\ {6} & {-10} & {2} \end{array}\right]
Falando em miúdos
Nesta aula vimos o conceito de matriz e conhecemos seus tipos especiais.
Aprendemos a comparar duas matrizes, a identificar a matriz nula e a obter a oposta de uma matriz. Também vimos algumas matrizes quadradas
que se destacam por suas características e que serão especialmente úteis no desenvolvimento da teoria.
1. Escreva a matriz A=\left(a_{i j}\right) em cada caso:
(a) A é do tipo 2 \times 3, e a_{i j}=\left\{\begin{array}{l}{3 i+j, \text { se } i=j} \\ {i-2 j, \text { se } i \neq j}\end{array}\right.
(b) A é quadrada de ordem 4 e a_{i j}=\left\{\begin{array}{l}{2 i, \text { se } i<j} \\ {i-j, \text { se } i=j} \\ {2 j, \text { se } i>j}\end{array}\right.
(c) A é do tipo 4 \times 2, e a_{i j}=\left\{\begin{array}{l}{0, \text { se } i \neq j} \\ {3, \text { se } i=j}\end{array}\right.
(d) A é quadrada terceira ordem e a_{i j}=3 i-j+2
2. Determine x e y tais que
(a)\left[\begin{array}{l}{2x+y}\\{2 x-y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}{11} \\ {9}\end{array}\right]
(b) \left[\begin{array}{cc}{x^{2}} & {y} \\ {x} & {y^{2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}{1} & {-1} \\ {-1} & {1}\end{array}\right]
Respostas dos exercíos
1. \left(\text { a) }\left[\begin{array}{rrr}{4} & {-3} & {-5} \\ {0} & {8} & {-4}\end{array}\right]\right.
(b) \left[\begin{array}{llll}{0} & {2} & {2} & {2} \\ {2} & {0} & {4} & {4} \\ {2} & {4} & {0} & {6} \\ {2} & {4} & {6} & {0}\end{array}\right]
(\mathrm{c})\left[\begin{array}{ll}{3} & {0} \\ {0} & {3} \\ {0} & {0} \\ {0} & {0}\end{array}\right]
(\mathrm{d})\left[\begin{array}{rrr}{4} & {1} & {2} \\ {7} & {6} & {5} \\ {10} & {9} & {8}\end{array}\right]
2. (\text { a) } x=5 ; y=1
(b) x=y=-1
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Exercícios
1. Escreva a matriz A=\left(a_{i j}\right) em cada caso:(a) A é do tipo 2 \times 3, e a_{i j}=\left\{\begin{array}{l}{3 i+j, \text { se } i=j} \\ {i-2 j, \text { se } i \neq j}\end{array}\right.
(b) A é quadrada de ordem 4 e a_{i j}=\left\{\begin{array}{l}{2 i, \text { se } i<j} \\ {i-j, \text { se } i=j} \\ {2 j, \text { se } i>j}\end{array}\right.
(c) A é do tipo 4 \times 2, e a_{i j}=\left\{\begin{array}{l}{0, \text { se } i \neq j} \\ {3, \text { se } i=j}\end{array}\right.
(d) A é quadrada terceira ordem e a_{i j}=3 i-j+2
2. Determine x e y tais que
(a)\left[\begin{array}{l}{2x+y}\\{2 x-y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}{11} \\ {9}\end{array}\right]
(b) \left[\begin{array}{cc}{x^{2}} & {y} \\ {x} & {y^{2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}{1} & {-1} \\ {-1} & {1}\end{array}\right]
Respostas dos exercíos
1. \left(\text { a) }\left[\begin{array}{rrr}{4} & {-3} & {-5} \\ {0} & {8} & {-4}\end{array}\right]\right.
(b) \left[\begin{array}{llll}{0} & {2} & {2} & {2} \\ {2} & {0} & {4} & {4} \\ {2} & {4} & {0} & {6} \\ {2} & {4} & {6} & {0}\end{array}\right]
(\mathrm{c})\left[\begin{array}{ll}{3} & {0} \\ {0} & {3} \\ {0} & {0} \\ {0} & {0}\end{array}\right]
(\mathrm{d})\left[\begin{array}{rrr}{4} & {1} & {2} \\ {7} & {6} & {5} \\ {10} & {9} & {8}\end{array}\right]
2. (\text { a) } x=5 ; y=1
(b) x=y=-1
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α β γ δ ∆ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ π ∂ ∑ ∏ ℮ אօ ∞ ℝ ℕ ℚ ℤ Ø f◦g
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ª ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔
∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥
outros
√ ∇ ∂ ∑ ∏ ∫ ≠ ≤ ≥ ∼ ≈ ≅ ≡ ∝ ⇒ ⇔ ∈ ∉ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ \ ∩ ∪ ∧ ∨ ∀ ∃ ℜ ℑ