TEOREMA DE PITÁGORAS

Exercícios Aula de Teorema de Pitágoras

1. Sejam $\prod$ um plano e $A$ um ponto fora dele. Se $P \&$ o ponto de $\prod$ mais préximo de $A$, prove que, para todo ponto $Q$ em $\Pi,$ diferente de $P,$ os segmentos $A P$ e $P Q$ s\tilde{ of } perpendiculares.

2. Prove que a interseçäo de um plano com uma esfera sò pode ser

a) vazia

b) um ponto

c) uma circunferência

Soluçöes Teorema de Pitágoras

1. Supondo, por absurdo, que $A P$ e $P Q$ näo fossem perpendiculares, seja $P_{0}$ o pé da perpendicular baixada de $A$ sobre a reta $P Q$ no plano $A P Q$. Entäo, pelo Teorema de Pitágoras, teriamos $\overline{A P}^{2}=\overline{A P_{0}}^{2}+\overline{P_{0} P^{2}},$ logo a distância de $A$ ao ponto $P_{0}$ do plano $\prod$ seria menor do que $\overline{A P}$.

2. Supondo que o plano $\prod$ tem com a esfera $S$ de centro $A$ e raio $r,$ mais de um ponto em comum (ou seja, que näo ocorre a ) nem b), seja $P$ o ponto do plano $\prod$ mais próximo de $A .$ Para todo ponto $X \in \prod_{0} \cap S$ temos $A X=r$ e $A P \perp P X$ logo $\overline{A P}^{2}+\overline{P X}^{2}=\overline{A X}^{2}$ ou seja $\overline{P X}^{2}=r^{2}-\overline{A P}^{2}$
Portanto $\overline{P X}$ e constante quando $X$ varia em $\prod \cap S$. Assim, $\prod \cap S$ é uma circunferência.