O todo é maior do que a soma de suas partes.
Aristóteles
INTRODUÇÃO
Algumas das principais características da Matemática são: a abstração, o rigor lógico e a diversidade de suas aplicações.
A lógica matemática está sempre presente nos editais dos concursos a nível federal, por isso é muito importante conhecer os conceitos básicos da lógica, não só para estudar, compreender e produzir Matemática, mas também, para utilizá-la em muitas outras situações.
Os fundamentos da lógica foram introduzidos na Grécia antiga por Aristóleles, um dos filósofos mais importantes da antiguidades.
As obras de Aristóteles, que versam sobre lógica, foram reunidas em um livro que reebeu o nome de Organon, que significa instrumento.
CONCEITO DE PROPOSIÇÃO
Vamos a um conceito básico, em função de ter encontrado diversos conceitos:
“Chama-se proposição toda sentenças declarativas que admite um dos dois valores lógicos: Falso (F) ou Verdadeiro (V), mas não as duas valorações”.
A língua portuguesa, assim como outras línguas, é formada por palavras, sentenças, numa teia sutil e complexa. Expressar-se com clareza e precisão não é tarefa fácil. De forma geral, podemos classificar as sentenças de uma língua da seguinte forma:
SENTENÇAS DE UMA LÍNGUA
Declarativas
- Hoje é domingo
- Eu não saí de casa o dia todo.
- Quem vem lá?
- Qual é o seu nome?
- Lógico!
- Viva!
- Não matarás
- Feche a porta
A matemática pode ser expressa por sentenças. Por exemplo,
$\pi$> 3 e $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
São sentenças matemáticas.
Sob o ponto vista da lógica devemos lidar com as sentenças declarativas, às quais podemos atribuir valor-verdade, isto é, cada sentença será verdadeira ou falsa.
As duas sentenças matemáticas $\pi$> 3 e $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ , são verdadeiras.
Note que estas sentenças podem conter atribuição valorativa V ou F .
De modo geral a PROPOSIÇÃO é uma sentença declativa que admite um valor lógico.
Exemplos de PROPOSIÇÕES
leia das seguintes sentenças. Algumas são verdadeiras e outras são falsas:
O céu é azul ( admite o valor lógico verdadeiro)
Fevereiro tem 28 dias ( admite o valor lógico verdadeiro)
Uma semana tem 8 dias ( admite o valor lógico falso)
O Sol é um satélite.( admite o valor lógico falso)
O Inverno é a estação mais quente do ano( admite o valor lógico falso)
Observação:
Uma proposição não pode ser ao memo tempo , verdadeira e falsa.
EXEMPLOS DE SENTENÇAS QUE NÃO SÃO PROPOSIÇÕES
faça atualização! (não admite o valor lógico verdadeiro e nem falso)
Fulano é Paraense (não admite o valor lógico verdadeiro e nem falso)
Quem é voçê? (não admite o valor lógico verdadeiro e nem falso)
FUNÇÕES PROPOSIOCIONAIS
Expressões que contém uma ou mais variáveis, são chamadas de funções proposicionais. Quando as variáveis são substituídas por constantes, a expressão torna-se uma proposição ( verdadeira ou falsa, conforme as contantes atribuídas).
Por exemplo, “ x é um homem”. Essa função proposição proposicional torna-se uma proposição verdadeira se x = Sócrates e falsa se x=Argos. Estas expressões também podem ser chamadas de sentenças abertas.
AXIOMAS E TEOREMAS
Distinguir o falso do verdadeiro é o objetivo fundamental na Matemática. A lógica aqui tem um papel central. Dito de outro modo, usando as regras da lógica, provamos quando uma determinada sentença é verdadeira ou falsa. Neste esquema, partimos de um conjunto inicial de sentenças básicas, que consideramos verdadeiras (as quais chamamos axiomas) e, usando as regras definidas pela lógica (que são as regras do jogo), provamos a veracidade de novas sentenças. Estas novas sentenças verdadeiras são chamadas teoremas e podem também ser usadas na demonstração de novos teoremas. É desta maneira maneira que engendramos a teia que forma a Matemática.
Em lógica consideramos apenas as sentenças que podem ser qualificadas como falsas ou verdadeiras. Tais sentenças serão chamadas de proposições. Usamos letras minúsculas, como p ou q, para representar proposições.
Resumindo:
Não são proposições: frases exclamativas, interrogativas, opinativas, as expressões de desejo, as expressões de sentimentos, as interjeições, orações imperativas, e aquelas que contenham variáveis (sentenças abertas).
A partir daí, podemos encontrar alguns princípios que devem sempre ser observados:
CONECTIVOS E PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
Algumas palavras e certas expressões são usadas insistentemente nos textos matemáticos. Bons exemplos são os conectivos “e” e “ou”. Usando estes dois conectivos e faznedo também a negação, podemos construir novas proposições a partir e outras proposições dadas inicialmente. Estas novas proposições são chamdas de proposições compostas
CONJUNÇÃO
Usando duas proposições p e q podemos contruir uma nov proposição, chamada de conjunção de p e q. Usamos o símbolo,
$p\wedge q$ (“ Lê-se p “e” q”)
Para denotá-la a sentença $p\wedge q$ é verdadeira caso ambas, p e q, seja verdeiras. Em qualquer outra situação ela será falsa.
Então podemos dizer que "Basta que uma seja falsa para que a sentença seja falsa".
Apenas uma das sentenças abaixo é falsa. Qual é ....
· A noite é escura e o dia é claro.
· A rosa é vermelha e o cravo é banco.
· $\sqrt{16}$ é igual a 4 e 187 é um número primo.
Uma vez que 187 é igual a 11x17, a proposição “187 é um número primo” é falsa e, apesar de “ $\sqrt{16}$ é igual a 4” ser verdadeira a prosição composta “$\sqrt{16}$ é igual a 4 e 187 ser um número primo”.
DISJUNÇÃO
A partir de duas proposições p e q também podemos construir a proposição composta p ou q, chamada de disjunção de p e q. Usamos o símbolo
p ∨ q para representá-la. A proposição $ p\vee q$ é verdadeira caso alguma das proposições p ou q seja verdadeira. Ela sera falsa apenas quando ambas proposições p e q forem falsas.
A proposição composta “ $\sqrt{16}$ é igual a 4 ou 187 é um número primo” é verdadeira.
Outro exemplo:
podemos afirmar que a proposicção:
$\pi$ é um número irracional ou $\frac{1}{3}$ > $\frac{1}{2}$
A sentença acima é verdadeira, baseando-se apenas no fato de que $\pi$ é um número irracional.
Atenção! Lembre-se de que, como já foi dito na unidade de Teoria de Conjuntos, o “ou” em Matemática não é exclusivo.
NEGAÇÃO
Usamos a notação
∼ p, (“lê-se não p”)
para indicar a negação da proposição p.
As proposições p e ∼ p têm valores-verdade opostos.
Este fato conhecido como o Princípio da Contradição.
Quando Aristóteles criou a lógica, ele estabeleceu uma série de princípios, isto é, as regras básicas sobre as quais toda a lógica seria desenvolvida. Estes princípios são:
• Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo.
• Princípio da Contradicão: O contrário do verdadeiro é falso.
• Princípio do Terceiro Excluído: De duas proposições contraditórias uma é verdadeira e a outra é falsa.
Duas proposições são contraditórias quando uma é a negação da outra. A palavra princípio provém do grego αρχη (arqué, como em arquétipo)
e do latim principium e quer dizer ponto de partida e fundamento de um processo qualquer. Ela é muito usada na filosofia e na linguagem científica. Em Matemática, pode ser usada como sinônimo de axioma e, neste caso, é uma proposição cuja veracidade não requer demonstração, como no princípio da Identidade, da Contradição e do Terceiro Excluído, enunciados anteriormente.
A Física também usa esta palavra neste sentido, como em “Princípio da Indeterminação de Heisenberg”, proposto em 1927 por Werner Heisenberg e faz parte da teoria quântica. Esta teoria é bastante complicada, mas ela explica o comportamento dos átomos. O Princípio da Indeterminação diz que a posição e a velocidade das partículas atômicas não podem ser conhecidas ao mesmo tempo e com precisão.
A palavra princípio também pode ser usada como sinônimo de teorema, como no Princípio da Inclusão-Exclusão, enunciado, trata-se de uma afirmação que deve ser demonstrada.Quantificadores
Vamos aprender agora mais um pouco do jargão matemático. Falare-mos sobre quantificadores. Os quantificadores são expressões que aparecem, em geral, no início das frases matemáticas, cuja função é indicar o universo sobre o qual será feita a afirmação. Exemplos: “para todo”, “cada”, “existe um”, “existe uma”, “não existe algum”, “não existe alguma”, “nenhum”, “nenhuma”, “qualquer um”, “qualquer uma” ...
Exemplo
As seguintes proposições têm o mesmo significado:
• Todo mundo é racional.
• Todas as pessoas são racionais.
• Cada pessoa é racional.
• Qualquer pessoa é racional.
O quantificador usado nestes exemplos é chamado de quantificador universal. Nós o representamos pelo símbolo $\forall$.
Exemplo
$\forall$ $\alpha$ ∈ R, $sen^2\alpha$+$cos^2\alpha$ =1.
Esta proposição é verdadeira.
O seguinte exemplo apresenta o quantificador existencial. Mais uma vez, todas as proposições abaixo têm o mesmo significado.
Exemplo
• Alguma pessoa é bonita.
• Existe pessoa bonita.
• Pelo menos uma pessoa é bonita
Exemplo
$\exists$ $\alpha$ $\in$ | sen $\alpha$ = 1.
Esta afirmação é verdadeira?
A resposta é sim. O seno do ângulo reto, por exemplo, é 1. Isto pode ser expresso da seguinte maneira: sen$\frac{\pi}{2}$ = 1.
Os quantificadores universal e existencial são trocados um pelo outro quando fazemos a negação de uma proposição iniciada por um deles. Veja como funciona num exemplo:
A negação da preposição
p : Todo aluno é estudioso.
é
∼ p: Existe aluno não estudioso
Uma outra maneira de enunciar a proposição ∼ p seria: há aluno que não é estudioso. Numa maneira tipicamente matemática seria: existe pelo menos um aluno não estudioso.
Note a importâcia do quantificador usado na formação da proposição.
As proposições:
$\forall$ x $\in$ $\mathbb{R}$, $x^2$ = 2
e
$\forall$ $\in$ $\mathbb{R}$ | $x^2$ = 2
(Para todo x em $\mathbb{R}$, $x^2$ = 2)
são diferentes.
Resumindo:
Quantificadores: O quantificador universal é representado pelo símbolo $\forall$, que lê-se: “Para todo ... ”; o quantificador existencial é representado pelo símbolo $\exists$, que lê-se: “Existe ...” Estes quantificadores são trocados um pelo outro quando fazemos a negação de uma proposição.
BIBLIOGRAFIA
Matemática discreta: v.3 ; mód 3 e 4 /Luiz Manoel Figueiredo -- 2ed. rev ampl - RJ :CEDERJ,2003.
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