ENEM MED - MMC e MDC

Competência de área 1 - Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.

H4 - Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.

H5 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos

Objeto do Conhecimento

MMC e MDC

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

Considerando-se vários números naturais, eles possuem uma infinidade de múltiplos comuns e o menor deles é denominado mínimo múltiplo comum (o zero está excluído).

Logo o MMC (6,8) = 24

Consideremos:

1. O número 6 e os seus múltiplos positivos:

M*+ (6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54,..}

2. O número 8 e os seus múltiplos positivos:

M*+ (8) = (8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64,...}

Podemos descrever, agora, os múltiplos positivos comuns:

M*+ (6)$\cap$ M; (8) = {24, 48, 72, ...}

Considerando-se vários números naturais, eles podem possuir alguns divisores comuns, dentre os quais, o maior é denominado máximo divisor comum e representa- se por

m.d.c. (o número de divisores é sempre um número finito, maior ou igual a 1). D(12) = { }

D(30) = { }

Logo o m.d.c. (12,30) =

OBS.: Se dois ou mais números têm o número 1 como único divisor comum, eles se dizem primos entre si, ou primos relativos, como é o caso dos números 4 e 9.

Tem-se assim: m.d.c. (4,9) = 1.

Observe que, nem 4 é primo, nem 9 é primo, no entanto, 4 e 9 são primos entre si.

MMC E MDC PELO METODO DA DECOMPOSIÇÃO ISOLADA

Para determinarmos o MDC e o MMC de vários números, devemos colocar todos os números na forma fatorada. Após esse procedimento, podemos estabelecer:

1) O máximo divisor comum (MDC) dos núneros é o produto de todos os fatores

comuns às fatorações com os menores expoentes com os quais eles se apresentam

nas suas respectivas decomposições.

2) O mínimo múltiplo comum (MMC) dos números é o produto de todos os fatores

existentes nas decomposições, comuns ou não, considerados com os maiores expoentes com os quais eles se apresentam nas suas respectivas decomposições.

Exemplo

Consideremos os números A, Be C já fatorados:

A = 2³ . 3. 5²

B = 2² .5.7

C= $2^4$ · 3². 5³

Teremos que:

MDC (A, B, C) = 2² · 5 e MMC (A, B, C) = $2^4$ · 3² . 5³ . 7

Relação entre m.m.c. e o m.d.c. de dois números naturais quaisquer

Sejam a e b dois números naturais quaisquer, não-nulos.

Tem-se sempre que:


O produto do máximo divisor comum pelo mínimo múltiplo comum de dois números naturais não-nulos é igual ao produto dos dois números, isto é :

$\boxed{MMC_{(a,b)} x MDC_{(a,b)} = a.b}$

Resumindo

EXERCÍCIOS

1. (G1 - cmrj 2019) Maria e Paula são amigas de infância e, sempre que podem, saem para pedalar juntas em torno do Estádio do Maracanã. Um dia, empolgadas com a ideia de saberem mais sobre o desempenho da dupla, resolveram cronometrar o tempo que cada uma levava para dar uma volta completa em torno do estádio. Constataram que Maria dava uma volta completa em 6 minutos e 40 segundos, enquanto Paula demorava 8 minutos para fazer o mesmo percurso, ambas com velocidades constantes.

Paula, então, questionou o seguinte: “Se sairmos juntas de um mesmo local, no mesmo momento, mas em sentidos contrários, em quanto tempo voltaremos a nos encontrar, pela primeira vez, no mesmo ponto de partida?” A resposta correta para a pergunta de Paula está presente na alternativa

a) 48 minutos

b) 40 minutos

c) 32 minutos

d) 26 minutos e 40 segundos

e) 33 minutos e 20 segundos


2. (Ufgs 2019) Considere as afirmações sobre números inteiros.


I. Todo número primo é ímpar.

II. Se a é um número múltiplo de 3, então 2a é múltiplo de 6.

III. Se a é um número par, então a²  é um número par.

Quais estão corretas?

a) Apenas I.

b) Apenas II.

c) Apenas III.

d) Apenas II e III.

e) I, II e III.

3. (G1 - cmrj 2019)  A Copa do Mundo de Futebol, realizada a cada quatro anos, teve sua primeira edição em 1930. Somente nos anos de 1942 e 1946, o evento foi suspenso devido à Segunda Guerra Mundial. No entanto, desde 1950 até os dias de hoje, o evento ocorre sem interrupções temporais.

Sabendo que a próxima competição será disputada no Qatar, no ano de 2022, a edição dessa Copa do Mundo será a de número

a) 24

b) 23

c) 22

d) 21

e) 20

4 . (G1 - cp2 2019) Maria adora séries de televisão e pretende assistir, durante um ano, a todos os episódios (de todas as temporadas e sem pular nenhum episódio) das suas três séries preferidas. Para isso, ela assistirá a três episódios por dia, sendo um de cada série. Sabe-se que cada temporada da série A tem 20 episódios, da série B tem 24 episódios e da série C tem 18 episódios. Nenhuma das três séries tem mais que 365 episódios ao todo. Ela decidiu que começará, hoje, a assistir ao 1º episódio da 1ª temporada de cada uma dessas três séries. Maria também sabe que haverá um certo dia X em que conseguirá, coincidentemente, assistir ao último episódio de alguma temporada das três séries.

Ao final do dia X, Maria já terá assistido, ao todo,

a) 12 temporadas completas das três séries.

b) 15 temporadas completas da série A.

c) 18 temporadas completas da série B.

d) 20 temporadas completas da série C.

GAB- D

5 . (Enem 2018) Um edifício tem a numeração dos andares iniciando no térreo (T), e continuando com primeiro, segundo, terceiro, …, até o último andar. Uma criança entrou no elevador e, tocando no painel, seguiu uma sequência de andares, parando, abrindo e fechando a porta em diversos andares. A partir de onde entrou a criança, o elevador subiu sete andares, em seguida desceu dez, desceu mais treze, subiu nove, desceu quatro e parou no quinto andar, finalizando a sequência. Considere que, no trajeto seguido pela criança, o elevador parou uma vez no último andar do edifício.

De acordo com as informações dadas, o último andar do edifício é o

a) 16º

b) 22º

c) 23º

d) 25º

e) 32º

6.  Ozzy e Boby tomaram medicamentos diuréticos e, por isso, vão para o banheiro de maneira sistemática. Ozzy vai ao banheiro de 30 em 30 minutos e Boby, de 18 em 18 minutos. Assim, a primeira vez que eles se encontraram foi no horário de 12:45. Qual foi o horário que os dois se encontraram novamente no banheiro depois deste primeiro horário?

a) 14:45

b) 13:45

c) 14:00

d) 15:00

e) 14:15

7. Marieta era fã tanto do futebol masculino quanto do futebol feminino e colecionava fotos de grandes expoentes do futebol no cenário mundial. Por algum motivo, enjoou e quis mudar sua admiração para outro esporte. Resolveu, então, presentear seus colegas da escola com suas figurinhas relacionadas ao futebol.

 

Ela tem 125 fotos do jogador de futebol Cristiano Ronaldo, 250 fotos da jogadora de futebol Marta e 300 fotos do jogador de futebol Messi. Marieta deseja dividi-las entre um maior número de grupos possível, contendo os três expoentes de jogadores que ela possui, de forma a conter um mesmo número de foto em cada grupo, e ainda cada grupo deverá conter uma mesma quantidade de fotos de cada jogador.

Determine o número de fotos do jogador Cristiano Ronaldo contido em cada grupo.

a) 30

b) 15

c) 05

d) 10

e) 20

Gab: C

8. Com a atual situação financeira do país, Maria resolveu ajudar seus pais com as despesas de seus estudos produzindo trufas de chocolate para vender na Universidade onde estuda. Ela produziu determinada quantidade de trufas e, para embalá-las para transporte, tinha duas opções: se as colocasse em caixas com 15 trufas cada, sobrariam 5 trufas e, se as mesmas trufas fossem colocadas em caixas com 12 trufas cada, seria possível preparar 5 caixas a mais, e sobrariam apenas 2 trufas.

Considerando essas informações, é possível afirmar que o número de trufas que Maria havia produzido é igual a

a) 150.

b) 180.

c) 220.

d) 290.

 

e) 330.

Gab: D

9. Um galpão foi construído de tal forma que seu piso é retangular e tem dimensões 36 m e 40 m. O proprietário pretende revestir o piso do galpão com azulejos idênticos, de formato quadrado e dimensões inteiras. Qual é o menor número de azulejos quadrados necessários para revestir o piso do galpão nas condições dadas, de maneira que não haja cortes ou sobras de material?

a) 90

b) 95

c) 98

d) 100

e) 110

Gab: A

10. Um hospital universitário de dois em dois anos publica edital para programa de residência na área de Neurologia, de três em três anos publica edital para programa de residência na área de Gastroenterologia, e de 18 em 18 meses, publica edital para programa de residência na área de Cardiologia.

Se em janeiro de 2017, esse hospital publicou, ao mesmo tempo, edital para essas três áreas, então o próximo ano previsto para que ele novamente publique edital para essas três áreas, ao mesmo tempo, será em

a) 2019.

b) 2020.

c) 2021.

d) 2022.

 

e) 2023.

Gab: E

11.  Números capicuas são números naturais que não se alteram quando lidos de trás pra frente. Por exemplo: 33, 272, 8 334 338, etc. Considerando-se apenas os capicuas de 4 algarismos, quantos deles são divisíveis por 15?

a) 5

b) 9

c) 3

d) 6

e) 4

Gab: C

12. O Supermercado “Preço Baixo” deseja fazer uma doação ao Orfanato “Me Adote” e dispõe, para esta ação, 528Kg de açúcar, 240Kg de feijão e 2016Kg de arroz. Serão montados Kits contendo, cada um, as mesmas quantidades de açúcar, de feijão e de arroz. Quantos quilos de açúcar deve haver em cada um dos kits, se forem arrumados de forma a contemplar um número máximo para cada item?

a) 20

b) 11

c) 31

d) 42

e) 44

Gab: B