ENEM -MED - Sistema Linear

SISTEMAS DE  EQUAÇÕES  LINEARES

1.     EQUAÇÃO LINEAR – SOLUÇÃO:

Þ      Uma  equação linear a n incógnitas sobre R é uma equação da forma

$\boxed{a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+\dots+a_nx_n=b}$

Na equação acima , chama-se:

$a_1,a_2\dots a_n$ são múmeros reais chamados de coeficientes

$x_1, x_2\dots x_n$ são as incógnitas$

b é o termo independente

Exemplos:
4x – y + 9z = 0
3a + 5b – c + 2d = 1
x + y = 10 ou $x_1 + x_2 = 10$

NÃO são equações lineares:

x³ – 5y = 0
2xy + z = 10
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}–3z=12$

Uma equação linear é dita ―homogênea‖ quando o seu termo independente é nulo, ou seja, b = 0. 

 Solução de uma Equação Linear:

A sequência ordenada ( $\alpha_1+\alpha_2\dots \alpha_n$ ) é uma solução da equação linear $a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+\dots+a_nx_n=b$

se $a_1(\alpha_1)+a_2(\alpha_2)+\dots+a_n (\alpha_n)=b$ for sentença verdadeira.

Classificação e solução

Quando analisamos um sistema escalonado, devemos inicialmente observar se ele apresenta alguma equação com coeficientes todos nulos, isto é, com a forma:

$0x_1+0x_2+0x_3+\dots+0x_n=b_1$.

Se isto ocorrer e $b_1\neq$ 0,esta equação não admite solução e, conseqüentemente, o sistema é incompatível.

Se tal equação ocorrer com $b_1$= 0, então ela é suprimida pois aceita qualquer n-upla ($\alpha_1+\alpha_2\dots \alpha_n$ ) como solução, e analisa-se o sistema formado pelas equações restantes.

Exemplos:

$\begin{cases} x+y+z=1 \\ 0x+y+z=5 \\ 0x+0y+0z=7\end{cases}$ é incompatível, b=7 e $b_1\neq$0.

$\begin{cases} x+y+z=1 \\ 0x+y+z=5 \\ 0x+0y+0z=0\end{cases}$ equivale a $\begin{cases} x+y+z=1 \\ y+z=5\end{cases}$, b=0.

2. Imaginemos um sistema escalonado em que cada equação tem ao menos um coeficiente não nulo. Somente dois casos podem acontecer.

caso I: o número m de equações é igual ao número n de incógnitas (m = n)
Neste caso o sistema tem a forma:

$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\dots+a_{1n}x_n=b_1 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{22}x_2+a_{23}x_3+\dots+a_{2n}x_n=b_2 \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{33}x_3+\dots+a_{3n}x_n=b_3\\............................................\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{nn}x_n=b_n \end{cases}$

onde $a_{11}$, $a_{22}$, $a_{33}$, $\dots$ ,$a_{nn}$ são todos não nulos.

Partindo da última equação, obtemos $Xn=\frac{b_n}{a_{nn}}$em seguida, substituimnos $X_n$ na penultima equação e calculamos $X{n-1}$ ; repetindo esse procedimento, obtemos sucessivamente $X_{n-2}, X_{n-3},\dots ,X_2\,e\, X_1$.

Concluímos que neste caso o sistema tem solução única, isto é, compatível e determinado.  

Assim como o exemplo abaixo:

$\begin{cases} x_1+x_2-3x_3+4x_4=-20\,\,\,\,(1) \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_2+x_3-x_4=8\,\,\,\,(2) \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_3+2x_4=1\,\,\,\,(3)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3x_4=-6\,\,\,\,(4)\end{cases}$

Temos:

(4) $\Rightarrow x_4=-2$


(3) $\Rightarrow x_3+2(-2)=1\Rightarrow=x_3=5$


(2) $\Rightarrow x_2+5-(-2)=8\Rightarrow=x_2=1$


(1) $\Rightarrow x_1+1-3.5+4(-2)=-20\Rightarrow =x_1=2$


Portanto a solução é a quádrupla (2,1,5,-2)

Caso II: O número m de equações é menor que o número n de incógnitas (m < n)

Neste caso há m - n incógnitas que não aparecem no começo de nenhuma das equações. Essas incógnitas são denominadas de variáveis livres.

Exemplo:

$s:\begin{cases} 2x+3y-z+t=5 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,z+t=3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2t=4 \end{cases}$

temos m = 3 e n=4, portanto, o número de variáveis Ilivres é 4-3 = 1, isto é,

há uma variável livre que não aparece no começo de nenhuma equação: é y.

Um tal sistema escalonado é resolvido com a técnica seguinte.

1º passo: atribuímos um valor a cada variável livre.

Por exemplo, no sistema S fazemos y =$\alpha$ e obtemos:

$\begin{cases}2x + 3\alpha - z +t = 5 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,z+t = 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2t = 4 \end{cases}$

2º passo: transpomos todas as parcelas constantes do 1º para o 2º membro

das equações.

Voltando ao exemplo, transpomos $3\alpha :$ 

$\begin{cases}2x - z +t = 5 -3\alpha  \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,z+t = 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2t = 4 \end{cases}$

3º passo: resolvemos o sistema escalonado resultante, que tem número de equações igual ao de incógnitas, conforme caso 1.

No sistema usado no exemplo, temos:

t = 2, z =1 e x=$\frac{4 - 3\alpha}{2}$ 

portanto, as soluções de S são as quádruplas da forma

($\frac{4 - 3\alpha}{2},\alpha, 1, 2$) com a real.

Notemos que para cada atribuição de valores às variáveis livres obtemos uma

n-upla que é solução do sistema. Como podemos escolher os valores das variáveis livres de infinitos modos distintos, decorre que o sistema tem infinitas soluções, isto é, ele é possível e indeterminado. Chama-se grau de indeterminação o número de variáveis livres, isto é, n - m.

Voltando ao exemplo, algumas soluções particulares de S são: 

para $\alpha$ = 0, (2, 0, 1, 2)

para $\alpha$ =1,($\frac{1}{2}$1, 1, 2)

para $\alpha$ =$\frac{1}{2}$,($\frac{5}{4}$,$\frac{1}{2}$, 1, 2)