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21 junho 2013

A Equação da Hipérbole


Definição: A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença das distâncias, em valores absolutos, a dois pontos fixos desse plano é constante.
Sejam dois pontos distintos F1 e F2 de um plano π, cuja distância d(F1 , F2) = 2c. Seja um número real a tal que 0 < 2a < 2c.
Hipérbole é o conjunto de todos os pontos do plano, tais que:
clip_image002
ou
clip_image004
image
[Figura 1: Hipérbole]
Como podemos ver, a hipérbole é uma curva com dois ramos. Analisando a equação (2), podemos ver que um ponto P está na hipérbole se, e somente se:
clip_image008
Quando P está no ramo da direita, a diferença é igual a +2a:
clip_image010
e quando P estiver no ramo da esquerda, a diferença será – 2a:
clip_image012
Considerando a reta que passa por F1 e F2, as intersecções com a hipérbole serão os pontos A1 e A2. Traçamos uma perpendicular a esta reta, passando pelo centro C do segmento F1 e F2.
image[Figura 2: Eixos de Simetria da Hipérbole]
A hipérbole é uma curva simétrica em relação às estas duas retas, como também ao ponto C. Se P1 é um ponto da hipérbole, existem outros pontosP2P3 e P4 tais que: P2 é o simétrico de P1 em relação à reta horizontal; P3 é o simétrico de P1 em relação à reta vertical; P4 é o simétrico a P1 em relação ao ponto C. Pela simetria, concluímos que:
clip_image016
Elementos da Hipérbole
Os principais elementos de uma hipérbole estão relacionados abaixo, considerando a figura 3:
image[Figura 3: Elementos da Hipérbole]
Focos: F1 e F2
Distância focal: é a distância 2c entre os focos, onde c = CF1=CF2
Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2
Eixo real ou transverso: é o segmento A1A2, de comprimento 2a, onde a =CA1 = CA2
Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B1B2, de comprimento 2b. O valor de b é definido pela relação pitagórica:
clip_image020
onde a, b e c são as medidas dos lados do triângulo retângulo CA2M.
Assíntotas: são as retas r e s das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais à medida que os pontos se afastam dos focos. Esta aproximação é contínua e lenta de forma que a tendência da hipérbole é tangenciar suas assíntotas no infinito.
Considerando uma circunferência de raio CF1 ou CF2, cujo centro C é o mesmo centro da hipérbole, traçamos pelos vértices A1 e A2 cordas perpendiculares ao segmento F1F2 e marcamos as intersecções com a circunferência. Esses pontos são os vértices do retângulo MNPQ inscrito à circunferência. Esse retângulo tem dimensões 2a e 2b.
As retas r e s que contém as diagonais desse retângulo são as assíntotas da hipérbole.
Abertura: o ângulo θ é chamado de abertura da hipérbole
Excentricidade: a excentricidade e da hipérbole é o número dado pela relação:
clip_image022
A excentricidade da hipérbole está intimamente relacionada com sua abertura. Se mantivermos o segmento c fixo e variarmos apenas o comprimento do segmento a, teremos uma abertura maior quando a é menor e vice-versa. Então, se diminuirmos o valor de a teremos uma excentricidade maior e = c /a. Assim os ramos da hipérbole estarão mais abertos.
Quando a = b o retângulo MNPQ se transforma num quadrado, torando as assíntotas perpendiculares e a abertura da hipérbole será igual a θ = 45°. Para este caso específico a hipérbole recebe o nome de Hipérbole Equilátera.

Equação Reduzida da Hipérbole
1º Caso: O Eixo Real está sobre o Eixo dos x:
Tomando um sistema ortogonal, com o centro C da hipérbole na origem do sistema, temos que:
clip_image024
image[Figura 4: Eixo rel sobre eixo dos x]
Seja um ponto P(x, y) da hipérbole, cujos focos são os pontos F1(– c,0) e F2(c,0). Por definição temos que:
clip_image028
Em coordenadas:
clip_image030
clip_image032
Quadramos ambos os lados:
clip_image034
clip_image036
clip_image038
Quadramos novamente ambos os lados:
clip_image040
clip_image042
clip_image044
Substituímos a relação (4) na (5), obtendo:
clip_image046
Dividindo ambos os lados por a2b2, resulta em:
clip_image048
Que é a equação da hipérbole.

2º Caso: O Eixo Real está sobre o Eixo dos y:
Tomando um sistema ortogonal, com o centro C da hipérbole na origem do sistema, temos que:
clip_image050
image[Figura 5: Eixo real sobre o eixo dos y]
Analogamente ao primeiro caso, chegamos à equação da hipérbole:
clip_image054
Referências
[1] Geometria Analítica – Steinbruch & Winterle
[2] Matemática: Ciência e Aplicações V3 – Iezzi, Dolce, Et al

Veja mais:A Equação da Elipse
Um modo de Calcular a Integral Indefinida da Hipérbole no blog Fatos Matemáticos
Os Modelos Hiperbólicos de Crochê no blog Matheusmathica
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Olá Pessoal pessoal se você gostou da postagem me mande um email para sugestão ou perguntas fmbacelar@gmail.com

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α β γ δ ∆ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ π ∂ ∑ ∏ ℮ אօ ∞ ℝ ℕ ℚ ℤ Ø f◦g
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ª ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔
∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥
outros
√ ∇ ∂ ∑ ∏ ∫ ≠ ≤ ≥ ∼ ≈ ≅ ≡ ∝ ⇒ ⇔ ∈ ∉ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ \ ∩ ∪ ∧ ∨ ∀ ∃ ℜ ℑ

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