Números Reais - Parte 01

Números Reais - Parte 01
	Geometria Analítica Conjuntos numéricos; Operações no conjunto dos números reais; Propriedades das desigualdades e do módulo ou valor absoluto de um número real e intervalos. Noção de sistema de coordenadas cartesianas. Curvas principais: a reta, a parábola, a circunferência, elipse de hipérbole Faremos, neste capítulo, uma rápida apresentação dos números reais e suas propriedades, mas no sentido de recordar o que você, meu caro estudante, já aprendeu no ensino fundamental e ensino médio. Números Reais - Parte 02 Conjuntos Numéricos: Números naturais: O conjunto é denominado conjunto dos números naturais. Números inteiros: O conjunto  é denominado conjunto dos números inteiros. Números racionais: São todos os números fracionários, que têm o numerador e o denominador (diferente de zero) pertencentes ao conjunto . Simbolicamente Números Reais - Parte 03 Números irracionais: São os números que não são racionais, mas podem ser “encontrados na reta.” Por exemplo: 2 = 1,41421 ... , π = 3,14159 ... , e = 2,718282 ... Denotaremos por , o conjunto dos números irracionais. Números reais: É a união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais, que será denotada por , ou seja,  . Como a matemática elementar envolve números reais, devemos estar familiarizados com algumas propriedades fundamentais do sistema de números reais. Observe, atentamente, cada uma dessas propriedades dadas a seguir: P1. Fechamento: Se a , b  , então existe um e somente um número real denotado por a + b , chamado soma de a e b e existe um e somente um número real, denotado por a × b chamado produto de a por b. Números Reais - Parte 04 P2. Comutatividade: Se a , b  então: a + b = b + a e a × b = b × a . P3. Associatividade: Se a, b, c  então: a + (b + c) = (a + b) + c e a × (b × c) = (a × b) × c . P4. Distributividade: Se a, b, c  então: a × (b + c) = a × b + a × c . P5. Existência de elementos neutros: Existem 0 e 1  tais que: a + 0 = a e a × 1 = a ,  a  . P6. Existência de simétricos: Todo a  tem um simétrico, denotado por −a , tal que: a + (−a) = 0 . Números Reais - Parte 05 P7. Existência de inversos: Todo a  , a ≠ 0 , tem um inverso, denotado por , tal que: Usando as propriedades P6 e P7 podemos definir a subtração e a divisão de números reais. P8. Subtração: Se a , b  , a diferença entre a e b , denotada por a − b , é definida por: a − b = a + (−b) . P9. Divisão: Se a , b  e b ≠ 0 , o quociente de a por b é definido por: Números Reais - Parte 07 Desigualdades A sucessão de pontos na reta real, da esquerda para a direita, corresponde a uma parte importante da álgebra dos números reais, a que trata das desigualdades. O significado geométrico da desigualdade a < b (leia-se “a menor que b”) é simplesmente que a está à esquerda de b ; a desigualdade equivalente b > a(leia-se “ b maior que a ”) significa que b está à direta de a. Um número a é positivo ou negativo conforme a > 0 ou a < 0 . Se você quer dizer que a é positivo ou igual a zero, escreve-se a ≥ 0 e lê-se “ a maior ou igual a zero”. Do mesmo modo, a ≥ b significa que a > b ou a = b . Assim, 5 ≥ 3 e 5 ≥ 5 são desigualdades verdadeiras. Assim como o conjunto dos números Reais, as Desigualdades também apresentam propriedades fundamentais, dadas a seguir. Números Reais - Parte 08 Propriedades das desigualdades - Para quaisquer números reais a, b, c e d, valem as propriedades: P1. a < b ⇒ a + c < b + c , para qualquer real c . Por exemplo, 3 < 5 ⇒ 3 + 4 < 5 + 4 . P2. a < b e c < d ⇒ a + c < b + d . Por exemplo, 6 < 8 e 5 < 7 ⇒ 6 + 5 < 8 + 7 . P3. a < b e b < c ⇒ a < c . Por exemplo, 5 < 9 e 9 < 11 ⇒ 5 < 11. P4. a < b e c > 0 ⇒ a × c < b × c . Por exemplo, 4 < 6 e 3 > 0 ⇒ 4 × 3 < 6 × 3 . P5. a < b e c < 0 ⇒ a × c > b × c . Por exemplo, 4 < 6 e −3 < 0 ⇒ 4 × (−3) > 6 × (−3) . P6. 0 < a < b e 0< c < d ⇒ a × c < b × d . Por exemplo, 0 < 4 < 7 e 0 < 5 < 8 ⇒ 4 × 5 < 7 × 8 . Números Reais - Parte 09 Módulo ou valor absoluto Dado um número real a , o módulo ou valor absoluto é definido por: Por exemplo: Números Reais - Parte 10 Podemos observar que (a) para qualquer número real a tem-se  ; (b)  para qualquer real a ; (c) geometricamente, o valor absoluto de um número real a , é distância de a até zero; (d) para qualquer número real a tem-se: , a raiz quadrada de qualquer número real, quando existe, é maior ou igual a zero. Logo,  Números Reais - Parte 11 Propriedades do Valor AbsolutoValem as seguintes propriedades do valor absoluto: P1.  se e somente se,  P2.  se e somente se,  P3.  se e somente se,  P4.  se e somente se,  P5.  para quaisquer  P6. para  P7. Para quaisquer  vale a desigualdade triangular: Números Reais - Parte 12 Intervalos Um conjunto I de números reais é denominado intervalo quando, dados com  , valer a implicação  . Os intervalos podem ser limitados ou ilimitados. Intervalos limitados (i) Fechado:  (ii) Aberto:  (iii) Semi-abertos:  e Números Reais - Parte 13 Intervalos Ilimitados (i) Fechados:  e (ii) Abertos:  e (iii) Aberto e Fechado:  Números Reais - Parte 14 Veja a representação de intervalos na reta real: Figura 1.2  Figura 1.3  Figura 1.4 Resolver uma desigualdade consiste em determinar o conjunto dos números reais que tornam verdadeira a desigualdade proposta. Para isto, você usa as propriedades das desigualdades (e do módulo quando este estiver envolvido). A partir de agora você, irá acompanhar a resolução de alguns exercícios. Nosso intuito é que você compreenda a resolução de exercícios sobre desigualdades e potencialize seu entendimento para os exercícios e/ou desafios propostos posteriormente. Números Reais - Parte 15 Exemplo 1.1 Resolver a desigualdade  Resolução: Pela propriedade P3, do módulo, temos:  ou seja,  e   e   e  Portanto,  ou ainda  Números Reais - Parte 16 Exemplo 1.2 Resolver a desigualdade  Resolução: Pela propriedade P1, do módulo, temos:  ou   ou   ou  Portanto,  ou