Noções de Conjuntos

Conjuntos é uma das mais fundamentais da Matemática, pois, a partir dela, vários conceitos matemáticos podem ser expressos.

As ideias essenciais da teoria dos conjuntos foram introduzidas pelo matemático alemão George Cantor (1.845-1.918). Esta linguagem não foi entendida de imediato pelos contemporâneos de Cantor, sofrendo certa resistência. Mas, lenta e seguramente, esta linguagem se impôs. Em reconhecimento aos trabalhos realizados por Cantor, a frase a seguir foi expressa pelo famoso matemático David Hilbert (1.862-1.943):

“Ninguém nos expulsará do paraíso que Cantor criou para nós”.

A Matemática se ocupa primordialmente de números e do espaço. Portanto, os conjuntos mais frequentes encontrados na Matem´ atica s˜ao os conjuntos numéricos (conjuntos de números), as figuras geométricas(que são conjuntos de pontos) e os conjuntos que derivam destes, como os conjuntos de funções, matrizes, etc. Nessa seção, procuraremos introduzir algumas das ideias básicas da teoria dos conjuntos, através de suas linguagens.

Conjuntos. Operações Fundamentais

Intuitivamente, um conjunto é encarado como uma coleção de objetos de natureza qualquer, os quais se dizem elementos do conjunto. Representa-se simbolicamente por x ∈ X, a proposição “x é um elemento do conjunto X”, que também se lê “x pertence a X”. A negação desta proposição é representada por x ∉ X, lê-se “x não pertence a X”.

Os conjuntos substituem as “propriedades” e “condições”. Assim, em vez de dizermos que “o objeto x goza da propriedade p” ou “o objeto y satisfaz a condição q”, podemos escrever x∈ X e y ∈ Y , em que X ´e o conjunto dos objetos que gozam da propriedade p e Y ´e o conjunto dos objetos que satisfazem a condição q.

Por exemplo, sejam p a propriedade de um número inteiro x ser par, e q a condição sobre o número real y expressa por $$y^2-3y+2=0$$. Por outro lado, sejam

X = {...,-4,-2,0,2,4,...}e Y={1,2}

Então, tanto faz dizer que x é par e que y satisfaz a condição q, como afirmar que x ∈ X e y ∈ Y .

Qual é, porém, a vantagem que se obtém quando se prefere dizer que x ∈ X e y ∈Y em vez de dizer que x goza da propriedade p e y satisfaz a condição q?

A vantagem de se utilizar a linguagem e a notação da teoria dos conjuntos é que entre estes existe uma álgebra montada sobre as operações de reunião (X ∪ Y ) e de interseção (X ∩ Y ), além da relação de inclusão (X ⊂ Y ). Por exemplo,

X ∩ (Y ∪ Z) = (X∩Y ) ∪ (X ∩Z) e X ⊂ (X ∪ Y ).

São extremamente fáceis de manipular e representam um enorme ganho em simplicidade e exatidão quando comparadas ao manuseio de propriedades e condições.

Notação de Conjuntos

Os conjuntos são, geralmente, designados por letras maiúsculas A, B, X, Y , . . . e seus elementos representados por letras minúsculas a, b, x, y, . . . . Ao definirmos um determinado conjunto relacionando seus elementos, devemos dispor-los entre chaves e separados por vírgula. Por exemplo, se considerarmos que A é constituído dos números naturais menores do que 4, escrevemos:

A = {0, 1, 2, 3}.

Nota. Nunca escreva coisas como A = {conjunto dos números pares}. Isto é incorreto, pois, as chaves {...} são utilizadas exclusivamente para relacionar elementos de um conjunto. Deve-se escrever: A: conjunto dos números pares, A = {2n; n ∈ Z}.

Uma condição impossível, isto é, que não seja verificada por nenhum objeto, se chama conjunto vazio e é designado por ∅.  Trata-se, evidentemente, de um conjunto sem elementos. Ele é aceito como conjunto porque cumpre a utilíssima função de simplificar certas proposições  evitando uma longa e tediosa menção de exceções. Tem-se assim, por exemplo:

∅ ={x; x ≠ x}, ou seja, ∅  é o conjunto dos objetos x tais que x é diferente de si mesmo; ou, ∅  = {x; x ∈ N  e x < 0}. Seja qual for o objeto x, tem-se sempre que x∉∅.
Em muitas questões matemáticas é importante saber que um determinado conjunto não é vazio, para tanto, deve-se simplesmente encontrar um objeto x tal que esteja neste conjunto. Por exemplo, o conjunto dos números pares que são primos não é vazio, pois, 2 é par e primo. Na verdade é o único número que é par e primo, mais ainda, este conjunto é unitário.


Chama-se conjunto unitário (ou singular) a qualquer conjunto com um só elemento. O conjunto unitário de elemento x é representado por {x}. Estritamente falando, x e {x}, geralmente, não representam a mesma coisa, salvo casos especiais conforme Nota ->. Por exemplo, ∅ ≠  {∅}, pois, {∅} possui um elemento (tem-se ∅∈ {∅}), mas, ∅ é vazio. Em certas ocasiões, entretanto, pode tornar-se um pedantismo fazer estas distinção. Nesses casos, admite-se escrever x em vez de {x}. Um exemplo disso ocorre quando se diz  que a interseção de duas retas r e s é o ponto P(em que lugar do conjunto cujo o ponto é P) e escreve-se r∩s=P, em vez de r∩s={P}. ( com experiência e bom senso, quem se ocupa a Matemática percebe que a obediência escrita aos rígidos padrões da notação e do rigor, quando praticada ao pé da letra, pode ser um obstáculo à clareza, à elegância e ao entendimento dos alunos.)