Estudo dos Logaritmos e Exercícios de Funções Exponencial

Definição

Chamamos logaritmo de um número real e positivo `b` em relação a base `a`, positiva e diferente de 1, ao expoente que se deve dar à base `a`, para que resulte uma potência igual a `b`.
ou seja:

$\log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b$

Com $a > 0$, $a \neq 1$ e $b > 0$
Assim, o logaritmo nada mais é que um expoente. Dizemos que "a" é a base do logaritmo, "b" é o logaritmando e "x" é o logaritmo.
Exemplo: $\log_2 16 = 4$, pois $2^4 = 16$.

Definições

I) O logaritmo cujo o logaritmando é igual a 1 e a base é qualquer, é igual a zero:

$\log_a 1 = 0$, pois $a^0 = 1$

II) O logaritmo cujo a base e o logaritmando são iguais é igual a um:

$\log_a a = 1$, pois $a^1 = a$

III) A potência de base "a" e expoente $\log_a b$ é igual a b:

$a^{\log_a b} = b$

IV) Dois logaritmos são iguais, numa mesma base, se os logaritmandos são iguais:

$\log_a b = \log_a c \Leftrightarrow b = c$

Propriedade dos logaritmos

1. Logaritmo do produto

O logaritmo do produto de dois fatores "a" e "b", em qualquer base "c", é igual à soma dos logaritmos de cada um desses fatores.
Se c > 0 e $c \neq 1$, a > 0, b > 0, então:

$\log_c (a \cdot b) = \log_c a + \log_c b$

Exemplo: $\log_3 (9 \cdot 27) = \log_3 9 + \log_3 27 = 2+3 = 5$

2. Logaritmo do quociente

O logaritmo do quociente de dois fatores a e b, em qualquer base c, é igual à diferença dos logaritmos de cada um desses fatores.
Se c > 0 e $c \neq 1$, a > 0, b > 0, então:

$\log_c \left(\frac{a}{b}\right) = \log_c a - \log_c b$

Exemplo: $\log_3 \left(\frac{27}{9}\right) = \log_3 27 - \log_3 9 = 3 - 2 = 1$

3. Logaritmo da potência

O logaritmo de uma potência, em qualquer base c, é igual ao produto entre o expoente da potência e o logaritmo cujo logaritmando é a base da potência.
Se a > 0 e $a \neq 1$, b > 0, $c \in \mathbb{R}$, então:

$\log_ a b^c = c \cdot \log_a b$

Exemplo: $\log_3 9^5 = 5 \cdot \log_3 9 = 5 \cdot 2= 10$

4. Logaritmo de uma raiz

O logaritmo da raiz enésima de um número real positivo é o produto entre o inverso do índice da raiz pelo logaritmo cujo o logaritmando é o radicando:
Se a > 0 e $a \neq 1$, b > 0, $n \in \mathbb{N}^*$, então:

$\log_a \sqrt[n]{b} = \log_a b^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n} \cdot \log_a b$

Exemplo: $\log_5 \sqrt[3]{25} = \frac{1}{3} \cdot \log_5 25 = \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}$

Mudança de Base

Algumas vezes, os logaritmos com bases diferentes precisam ser transformados para outra base, de forma que ela seja a mesma para ambos.
Se a, b e c são números reais positivos, então:

$\log_ a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$, $a \neq 1$ e $c \neq 1$

Exemplo: $\log_3 5$ transformado para a base 2 fica:

$\log_3 5 = \frac{\log_2 5}{\log_2 3}$

Se a e b são reais positivos e quisermos transformar $\log_a b$ para a base b, temos:

$\log_a b = \frac{\log_b b}{\log_b a} = \frac{1}{\log_b a}$, $a \neq 1$ e $b \neq 1$

Exemplo: $\log_3 4 = \frac{1}{\log_4 3}$
Se a e b são reais positivos, temos que:

$\log_{a^\beta} b = \frac{1}{\beta} \cdot \log_a b$, $a \neq 1$ e $\beta \neq 0$

Exemplo: $\log_{3^5} 10 = \frac{1}{5} \cdot \log_3 10$

Referência:
DOLCE, Osvaldo; IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar. Logaritmos. Vol. 2. São Paulo: Atual, 1997.

Arquivado em: Matemática
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 Lista de Exercícios – Logaritmos




1) Em Química, defini-se o pH de uma solução como o logaritmo decimal do inverso da respectiva concentração de H3O+ . O cérebro humano contém um líquido cuja concentração de $H_{3}$O+ é 4,8. 10$^{-8}$ mol/l. Qual será o pH desse líquido?
Do enunciado tiramos,

pH=-log[$H^{+}$]

Código: Selecionar tudo

[tex]pH=-log [H+]

;[] significa concentração.

Assim temos,

Código: Selecionar tudo

[tex]pH=-log(4,8.10^{-8})[/tex]

Código: Selecionar tudo

[tex]pH=-log4,8+8.log10[/tex]

2) Numa plantação de certa espécie de árvore, as medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco, desde o instante em que as árvores são plantadas até completarem 10 anos, são dadas respectivamente pelas funções:

altura: H(t) = 1 + (0,8).$log_{2}$ (t + 1)

diâmetro do tronco: D(t) = (0,1).2 $^ \frac{t}{7}$

com H(t) e D(t) em metros e t em anos.

a) Determine as medidas aproximadas da altura, em metros, e do diâmetro do tronco, em centímetros, das árvores no momento em que são plantadas.

b) A altura de uma árvore é 3,4 m. Determine o diâmetro aproximado do tronco dessa árvore, em centímetros.

Função Exponencial

PROBLEMAS DE FUNÇÃO EXPONENCIAL

Chama-se função exponencial a função ${\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}^{*}}$ tal que ${\textstyle f(x)=a^{x}}$ em que ${\textstyle a\in \mathbb {R} }$, ${\textstyle 0<a\neq 1}$. O número ${\displaystyle a}$ é chamado de base da função. A função exponencial ${\textstyle f(x)=a^{x}}$ pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se ${\textstyle a>1}$, a função é crescente. Caso ${\textstyle 0<a<1}$ a função é decrescente.[1]^[2]

A função exponencial pode ser caracterizada como uma extensão do processo de potenciação para expoentes não inteiros. Quando n é um número natural maior do que 1, a potência aⁿ indica a multiplicação da base a por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente n, isto é^[3],

${\displaystyle {{a^{n}=} \atop {\ }}{{\underbrace {a\times \cdots \times a} } \atop n},}$

Esta definição implica as seguintes propriedades:

• ${\displaystyle a^{n+m}=a^{n}a^{m};}$
• ${\displaystyle a^{nm}=\left(a^{n}\right)^{m}.}$

A fim de estender estas propriedades para expoente zero, expoentes negativos e racionais, definem-se:

• ${\displaystyle a^{0}=1,\quad \forall a\neq 0;}$
• ${\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad \forall a\neq 0,~~n\in \mathbb {N} ;}$
• ${\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}},\quad \forall a>0,~~n\in \mathbb {N} ;}$
• ${\displaystyle a^{\frac {n}{m}}={\sqrt[{m}]{a^{n}}},\quad \forall a>0,~~n\in \mathbb {Z} ~~m\in \mathbb {N} .}$

A função exponencial pode ser então definida para todo expoente x através dos seguintes limites:^[4]

${\displaystyle a^{x}=\sup _{{\frac {n}{m}}<x}a^{\frac {n}{m}},a>1;}$

${\displaystyle a^{x}=\inf _{{\frac {n}{m}}<x}a^{\frac {n}{m}},a<1.}$

De fato, a função y = a^x é a única função contínua y=f(x) que satisfaz:

• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y);}$
• ${\displaystyle f(1)=a.}$

No entanto, mais comumente, a função exponencial é definida em termos da função exponencial natural e sua inversa, o logaritmo natural:^[4]

• ${\displaystyle a^{x}=e^{\ln(a)x}.}$

A função exponencial satisfaz sempre os seguintes axiomas básicos de definição:

• ${\displaystyle a^{1}=a}$
• ${\displaystyle a^{x+y}=a^{x}a^{y},~~\forall x,y\in \mathbb {R} }$

A partir destes axiomas, podemos extrair as seguintes propriedades operacionais:

1. ${\displaystyle a^{0}={\frac {a^{1+0}}{a^{1}}}={\frac {a^{1}}{a^{1}}}=1,}$

Fonte na Integra (wikipedia)


3) Um piscicultor construiu uma represa para criar traíras. Inicialmente, colocou 1.000 traíras na represa e, por um descuido, soltou 8 lambaris. Suponha-se que o aumento das populações de lambaris e traíras ocorre, respectivamente, segundo as leis L(t)=L³10  T(t)=T³2 , onde L³ é a população inicial de lambaris, T³, a população inicial de traíras e t, o número de anos que se conta a partir do ano inicial. Considerando-se log 2 = 0,3, o número de lambaris será igual ao de traíras depois de quantos anos?

a)30                     b)                   18 c)12                   d)6                    e)3

Trata-se de um problema a ser solucionado com aplicação de logaritmos.

Para descobrir o valor de t devemos fazer L(t) = T(t) e inserir os valores de $L_o$=8 e $T_o$=1.000 , pode ser resolvido também por exponencial vejamos:

Assim faremos:


L(t) = T(t)
$L_o.10^t$= $T_0. 2^t $ ( aplicando a propriedade da potência em ($10^t$)
$L_o.(2.5)^t$= $T_0. 2^t $
$L_o{\cancel{2^t}}5^t$= $T_0 {\cancel{2^t}}$
$8.5^t $= $1000$ (lembrando que 8=2³ e 1000=10³)
isolando $5^t$
$5^t$=$\frac{10^3}{2^ 3}$
$5^t$=$(\frac{10}{2})^3$
$\cancel{5}^t$=$\cancel{5}^3$
$t=3 anos$

4) Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas. Assim, o número n de bactérias após t horas é dado pela função . Nessas condições, qual o tempo necessário para que a população de bactérias seja de 51.200 bactérias?

 

5) Segundo o modelo malthusiano para crescimento populacional, as populações podem crescer sem limites. Apesar desse aspecto, o modelo funciona bem durante um certo tempo.Utilizando dados dos censos de 1940 a 1991, o modelo prevê para a população brasileira um crescimento segundo a equação: P(t) = 40e^0,02t , sendo P(t) a população, em milhões de habitantes em cada ano t, e t = 0 o ano de 1940.De acordo com a projeção malthusiana, determine o ano a partir do qual a população brasileira irá ultrapassar os 200 milhões de habitantes. Considere ln 5 = 1,6. (Resposta => 2020)

 6) (UMC-SP) O crescimento de uma cultura de bactérias obedece a função $N(t) = 600.3^{kt}$ onde N é o número de bactérias no instante t, sendo t o tempo em horas. A produção tem inicio em t = 0. Após 24 horas há 1800 bactérias ao todo. Determine o valor de k, e o número de bactérias após 24 horas.

N = Numero de bactérias no instante t.

T = Tempo fornecido em horas.
Início da produção ⇒ t = 0
Após 12 h = 1800 Bactérias (Total)
N(t) =

(Primeiro, descobrimos o valor de k):

N(12) =  ⇒ (Dividimos por 600):



12 k = 1 ⇒ k = 
(Agora, descobrimos o número de bactérias em 24 horas):

N(24) = 
N(24) =  = 5400
R.: O total de Bactérias em 24 horas é 5400