Fundamentos da Função Afim

A FUNÇÃO AFIM

Uma função f: R→ R : chama-se afim quando existem números reais a e b tais que f(x) = ax + b para todo x ∈ R.

Casos particulares

1) A função identidade f: R→ R: definida por f(x) = x para todo x ∈ R.

2) A função linear f: R→ R: definida por f(x) = ax para todo x ∈ R.

3) A função constante f: R→ R: definida por f(x) = b para todo x ∈ R.

Observações

1) Quando a≠ 0, a função afim também é chamada função polinomial do primeiro grau.

2) Devido ao fato que b = f(0) na expressão f(x) = ax + b, o coeficiente b é às vezes

chamado de valor inicial da função f.

3) A função linear dada por f(x) = ax é o modelo matemático para os problemas de

proporcionalidade.

Exemplos

1) Se um corpo se desloca em linha reta com velocidade constante $v_o$, então s(t) = $v_o$t + $s_o$

dá a posição s do corpo em relação à uma origem fixa na reta, onde $s_o$ é a posição para

t = 0.

2) Se uma pessoa fica exposta a temperaturas muito baixas (ou muito altas), durante

algumas horas, a temperatura de seu corpo pode cair (ou subir), e tal pessoa pode,

inclusive, vir a morrer. Todavia, sob temperaturas ambientes de 16°C a 54° C, nosso

corpo é capaz de manter, indefinidamente, uma mesma temperatura. Este fato pode ser

representado pela seguinte função constante: f : [16,54] → R ; f(x) = 36,7.

3) Pendurando-se um corpo numa mola, ela sofrerá um alongamento S, que é função do

peso p do corpo suspenso. Em 1660 o inglês Hooke descobriu experimentalmente que,

dentro de certas condições, tal função é linear, isto é, dada por S = kp, onde k é uma

constante que depende da mola.

4) Em modelos simplificados, o custo de fabricação de x unidades de um produto é

composto por uma despesa fixa, chamada de custo fixo, mais uma parte variável que

depende do número de unidades produzidas. Assim, se o fabricante de um determinado

produto tem uma despesa fixa mensal de co reais e um custo de produção de a reais

por unidade, o custo de produção de x unidades mensais deste produto é dado por

C(x)=ax+ $c_o$ reais.

Apesar de termos definido a função afim e seus casos particulares como funções

de domínio R, nos exemplos que vimos, que são situações práticas, os domínios

considerados são subconjuntos de R. As respectivas funções são, na verdade, restrições

da função afim a esses subconjuntos.

O gráfico da função afim

Podemos verificar que dados três pontos distintos do gráfico da função afim, esses

pontos são colineares, ou seja, tal gráfico é uma reta. Sejam A=($x_1,y_1$); B=($x_2,y_2$) e C=($x_3,y_3$) pontos distintos do gráfico de f(x) = ax + b.

Podemos supor que $x_1<x_2<x3$ e sabemos que $y_1= ax_1+b$ , $y_2=ax_2+b$ e $y_3=ax_3+b$ . Daí obtemos,

$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$=$\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}$

Os triângulos ABD e BCE são retângulos e têm lados proporcionais, então são semelhantes e portanto os ângulos α e β são iguais. Logo, A, B e C estão alinhados.

Se a < 0 o raciocínio é análogo.

Se a = 0 temos que $y_1 = y_2 = y_3$ teremos os pontos A, B e C alinhados e sobre uma

reta paralela ao eixo Ox, que é o gráfico da função constante.

Conclusão: Para construir o gráfico de uma função afim f(x) = ax + b é suficiente encontrar dois pontos distintos do gráfico e traçar a reta que passa por esses pontos.

O gráfico de uma função afim é uma reta não vertical, isto é, não paralela ao eixo Oy. Reciprocamente, podemos provar que toda reta não vertical r é o gráfico de uma função afim.

Se f(x) = ax + b, diz-se que y = ax + b é a equação da reta r .

Se a reta r é o gráfico da função afim f(x) = ax + b, o coeficiente

a=$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, onde ($x_1 ,y_1$ ) e ($x_2 ,y_2$ ) são dois pontos distintos quaisquer de r, é chamado inclinação ou coeficiente angular da reta r, pois ele é a tangente trigonométrica do ângulo θ que a reta r faz como eixo Ox.

a=$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$=tgθ


Uma vez que o ponto (0, b) corresponde ao ponto que a reta r intercepta o eixo

$O_y$, o número b é também chamado de coeficiente linear da reta r.



Chama-se zero de uma função f, o ponto x, x ∈ D(f) tal que f(x) = 0.

Se f:A →R, com A ⊂ R, então graficamente o ponto (x, f(x) ) tal que f(x) = 0

representa a interseção do gráfico de f com o eixo $O_x$.

No caso da função afim , se f(x) = ax + b o zero de f é o ponto x =$\frac{− b}{a}$ , se a  ≠ 0 .

Se a = 0 temos dois casos: a função não tem zero (para b ≠ 0) ou tem infinitos, se b = 0.

EXERCÍCIOS

1) Sabe-se que se um corpo se desloca em linha reta com velocidade constante vo, então $s(_t) = v_ot + s_o$ dá a posição s do corpo em relação à uma origem fixa na reta, onde so é a posição para t = 0. Numa longa estrada retilínea, um Gol e um Passat deslocam-se no mesmo sentido com velocidades constantes de 80km/h e 60km/h, respectivamente No instante t = 0, o Gol está no quilômetro 5 e o Passat no quilômetro 20.

a) Qual a lei que representa a posição do Gol? E do Passat?

b) Construa no mesmo plano cartesiano os gráficos das funções encontradas no item a).

Existe interseção? Qual o significado disto no problema?

c) Refaça o problema com os carros a 80km/h e 60km/h mas em sentidos contrários,

numa estrada de mão dupla. Interprete o ponto de interseção dos gráficos.

2) A medida de temperatura em graus Fahrenheit é uma função afim da medida em graus centígrados. Escreva a equação desta função sabendo que 0°C = 32°F e 100°C = 212°F.

3) Durante o verão, um grupo de estudantes alugou um quarto para confeccionar produtos de artesanato. O preço do aluguel foi de R$100,00 e o custo do material necessário para cada produto foi de R$1,50. Expresse o custo total em função do número de produtos confeccionados.










4) O aluguel de um carro em uma agência é de R$ 50,00 mais R$ 0,80 por quilômetro


rodado. Uma segunda agência cobra R$ 60,00 mais R$ 0,40 por quilômetro rodado. Qual


a agência que oferece o melhor preço de aluguel?

5) O herói de uma história popular de espionagem conseguiu fugir após ter sido aprisionado por inimigos. Nosso herói, dirigindo um caminhão roubado a 72km/h está a 40km de distância de seus inimigos. Estes, ao perceberem a fuga, tentarão alcançá-lo dirigindo um carro a 168km/h. A distância entre o lugar onde o herói esteve prisioneiro e a fronteira da liberdade é de 83,8km. Poderá nosso herói alcançá-la?

6) Um indivíduo dispara um projétil com velocidade de 200m/s sobre um alvo. Ele ouve o impacto do projétil no alvo, 2,7 segundos depois do disparo. Sabendo-se que a velocidade do som no ar é de 340m/s, qual a distância do indivíduo ao alvo?

7) Para encorajar pessoas ao uso do sistema de transporte solidário, o Departamento de Trânsito de um Estado ofereceu um desconto especial no pedágio para veículos transportando 4 ou mais pessoas. Há trinta dias, durante o horário matinal de maior movimento de carros, apenas 157 veículos obtiveram o desconto. Desde então, o número de veículos com direito ao desconto aumentou numa razão constante. Hoje, por exemplo, 247 veículos receberam o desconto.

a) Expresse o número de veículos com direito a desconto, em cada manhã, como função do tempo e construa o gráfico correspondente.

b) Daqui a 14 dias, quantos veículos terão direito ao desconto?