ENEM -ANÁLISE COMBINATÓRIA - COMBINAÇÕES SIMPLES

 

COMBINAÇÕES

Combinações Simples

Combinação simples é uma ferramenta combinatória utilizada quando desejamos contar as possibilidades de formação de um subgrupo de elementos a partir de um grupo dado. Em outras palavras se possuirmos um Conjunto de elementos, desejamos contar as possibilidades de formação de um subconjunto formado a partir do conjunto dado.

É crucial nessa altura notar que quando formamos um subconjunto a partir de um conjunto dado, não estamos formando filas. Dessa maneira, quando se ver diante de um problema desse tipo, não devemos utilizar qualquer ferramenta que forme ordem entre os elementos em questão. Se por ventura forem formadas filas e não grupos (conjuntos) haverá uma contagem excessiva.

FÓRMULA GERAL DE COMBINAÇÕES SIMPLES

A partir de um conjunto com n elementos devem-se formar um subconjunto com p elementos. A quantidade de subconjuntos é igual a

$C_{n}^{p}$

Se n<p, $C_{n}^{p}=0$
e 

$\boxed{C{n,p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}}$

Observação:

 n, p $\in\mathbb{N}$  {0,1,2,3,4,5...} ; 0!=1 ; 1! =1

EXERCÍCIOS

01. (MPOG/2005) Um grupo de estudantes encontra-se reunido em uma sala para escolher aleatoriamente, por sorteio, quem entre eles irá ao Simpósio de Matemática do próximo ano. O grupo é composto de 15 rapazes e de um certo número de moças. Os rapazes cumprimentam-se, todos e apenas entre si, uma única vez; as moças cumprimentam-se, todas e apenas entre si, uma única vez. Há um total de 150 cumprimentos. O número de moças é, portanto, igual a:

a) 10 b) 14 c) 20 d) 25 e) 45

02. SEMEC-CARGO 04- JANEIRO DE 2013 [CETAP]

 Para desenvolver uma pesquisa sobre o aprendizado dos alunos na Alfabetização, serão escolhidos 6 professores entre os 10 prefessores especializados no asunto. De quantas maneiras esse grupo poderá ser formado?

A)5.040

B)350

C)1.200

D)210

E)250

03.(Aux. Adm. - 2005 - TJPR) Suponha que, para compor uma Comissão Examinadora de um certo Concurso Público, existam um Corregedor Geral de Justiça, 20 Juízes de Comarca, 30 advogados da OAB e 12 representantes do Ministério Público. Considerando que a Comissão examinadora deve ser constituída por um Corregedor Geral de Justiça (Presidente), 2 Juízes de Com arca, 1 advogado da OAE e 1 representante do Ministério Publico, o número total de comissões distintas que poderão ser formadas é:

a) 126 b) 68.400  c) 7.200 d) 36.000 e) 136.800.

04. (CESPE/PC/PA) O número de maneiras distintas que um ou mais dos 5 empregados de uma empresa podem ser escolhidos para realizarem determinada tarefa é igual a:

 

a) 20 b) 25     c) 31 d) 40

05.CMA-Aplicada em 11/11/2012 [CETAP]

Uma escola possui 10 professores de Matemática e 15 professores de Português. Quantas comissões de 6 pessoas podem ser formadas de modo que cada comissão possua 3 professores de Matemática?

a)54.600     b)575     c)19.656     d)3.450    e)34.500 

06.(Aux. Sego Interna - 2005 - Fund. Cesgranrio) Um restaurante oferece cinco ingredientes para que o cliente escolha no mínimo 2 e no máximo 4, para serem acrescentados à salada verde. Seguindo esse critério, de quantos modos um cliente pode escolher os ingredientes que serão acrescentados em sua salada?

a) 25

b) 30

c) 36

d) 42

e) 50

07. (BB 2008/CESPE-UnB) Considerando-se que o treinador de um time de vôlei tenha à sua disposição 12 jogadores e que eles estejam suficientemente treinados para jogar em qualquer posição, nesse caso, a quantidade de possibilidades que o treinador terá para formar seu time de 6 atletas será inferior a 10³.

08. (BB 2008/CESPE-UnB) Considerando que o treinador de um time de vôlei disponha de 12 jogadores, dos quais apenas 2 sejam levantadores e os demais estejam suficientemente bem treinados para jogar em qualquer outra posição, nesse caso, para formar seu time de 6 atletas com apenas um ou sem nenhum levantador, o treinador poderá fazê-lo de 714 maneiras diferentes.

(BB 2009/CESPE-UnB) Com relação a lógica sentencial, contagem e combinação, julgue o item a seguir.

09. (BB 2009/CESPE-UnB) Em um torneio em que 5 equipes joguem uma vez entre si em turno único, o número de jogos será superior a 12.

10. (TFC 2000/ESAF) Em uma circunferência são escolhidos 12 pontos distintos. Ligam-se quatro quaisquer destes pontos, de modo a formar um quadrilátero. O número total de diferentes quadriláteros que podem ser formados é:

a) 128

b) 495

c) 545

d) 1.485

e) 11.880

11. (TFC-CGU 2008 ESAF) Ana precisa fazer uma prova de matemática composta de 15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 questões das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questões? 

a) 3003 b) 2800  c) 3005 d) 2980 e) 3006

12.DETRAN/RORAIMA 11/04/2010[CETAP] Em um determinado setor do DETRAN, trabalham 06 Técnicos e 12 Guardas. Quantas equipes distintas, constituídas por 02 Técnicos e por 06 Guardas, podem ser formadas neste setor?

A) 939

B) 12.800

C) 13.860

D) 1.248

E) 6

13. PREF. MUN. SANTARÉM 17/08/2008 [CETAP] Uma construtora necessita comprar 4 caminhões e 6 camionetes. Feita a pesquisa de preços, a firma vencedora oferece 6 tipos de caminhões e 8 tipos de camionetes. De quantas maneiras esta compra pode ser efetuada?

A) 48.

B) 480.

C) 420.

D) 1024.

E) 720.

14. (BB1 2007 CESPE) Julgue o item: 

1. Se 6 candidatos são aprovados em um concurso público e há 4 setores distintos onde eles podem ser lotados, então há, no máximo, 24 maneiras de se realizarem tais lotações. 

15. (BB 2009 Cespe) Com relação a contagem e combinação, julgue os itens a seguir. 

     1. Com 3 marcas diferentes de cadernos, a quantidade de maneiras distintas de se formar um pacote contendo 5 cadernos será inferior a 25. 

2. Em um torneio em que 5 equipes joguem uma vez entre si em turno único, o número de jogos será superior a 12.

16. (TRT-RJ Analista 2008 Cespe) Caso as empresas R e H sejam responsáveis pela manutenção de ar condicionado e possuam 17 e 6 empregados, respectivamente, à disposição do TRT, sendo que um deles trabalhe para ambas as empresas, nesse caso, o número de maneiras distintas para se designar um empregado para realizar a manutenção de um aparelho de ar condicionado será igual a 

    A )5.           B) 11.           C) 16.            D) 22.             E) 102.

17. (TRT-RJ Técnico 2008 Cespe) Caso 5 servidores em atividade e 3 aposentados se ofereçam como voluntários para a realização de um projeto que requeira a constituição de uma comissão formada por 5 dessas pessoas, das quais 3 sejam servidores em atividade e os outros dois, aposentados, então a quantidade de comissões distintas que se poderá formar será igual a 

A) 60.            B) 13.           C) 30.             D) 10.               E) 25. 

(Texto para as questões 17 e 18) Entre os 6 analistas de uma empresa, 3 serão escolhidos para formar uma equipe que elaborará um projeto de melhoria da qualidade de vida para os empregados da empresa. Desses 6 analistas, 2 desenvolvem atividades na área de ciências sociais e os demais, na área de assistência social. 

Julgue os itens que se seguem, relativos à composição da equipe acima mencionada.

17.(EBC - 2011 / CESPE) Se os 2 analistas que desenvolvem atividades na área de ciências sociais fizerem parte da equipe, então a quantidade de maneiras distintas de se compor essa equipe será superior a 6.(Errado)

18.(EBC - 2011 / CESPE) Se a equipe for formada por 2 analistas da área de assistência social e 1 analista da área de ciências sociais, então ela poderá ser composta de 12 maneiras distintas.(Certo)

(Texto para as questões 19 a 21) Considerando que, em uma empresa, haja 5 candidatos, de nomes distintos, a 3 vagas de um mesmo cargo, julgue os próximos itens.

19.(EBC - 2011 / CESPE) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nesse caso, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, dois desses nomes aparecerão em mais de 5 dessas listas.

20. (EBC - 2011 / CESPE) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos candidatos. Nessa situação, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, 3 dessas listas conterão apenas um desses nomes(Certo)

21. (EBC - 2011 / CESPE) A quantidade de maneiras distintas de se

escolher 3 pessoas entre os 5 candidatos é igual a 20.(Errado)