PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)
DEFINIÇÃO
Progressão aritmética
é toda seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à
soma do termo precedente (anterior) com uma constante r. O número r é chamado
de razão da progressão aritmética.
EXEMPLOS:
a) (4, 7, 10, 13, 16, 19,
22) é uma P.A. finita de razão r = 3.
b) (10, 8, 6, 4, 2, 0, -2, -4, ...) é uma P.A. infinita de
razão r = - 2.
c) (5, 5, 5, 5, ...) é
uma P.A. infinita de razão r = 0.
CLASSIFICAÇÃO DAS PROGRESSÕES
ARITMÉTICAS
Uma P.A. é crescente
quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede.
Para que isso aconteça é
necessário e suficiente que a sua razão seja positiva.
EXEMPLO:
(7, 11, 15, 19, ...) é
uma P.A. crescente. Note que sua razão é positiva, r = 4.
Uma P.A. é decrescente quando cada termo, a partir
do segundo, é menor que o termo que o antecede. Para que isso aconteça é
necessário e suficiente que a sua razão
seja negativa.
EXEMPLO:
|
Uma P.A, é constante
quando todos os seus termos são iguais. Para que isso aconteça é necessário e
suficiente que sua razão seja igual a zero.
sua razão é igual a zero,
r = 0.
PROPRIEDADE
Uma seqüência de três
termos é P.A. se, e somente se, o termo médio é igual à média aritmética entre
os outros dois, isto é:
(a, b, c) é PA $\Leftrightarrow$ $b=\frac{a+c}{2}$
FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA
GENERALIZANDO
Numa P.A. (a1, a2, a3, . . ., an, ...) de razão r tem-se an = a1 + (n - 1)r, $\forall$n, com n $\in$ lN*. Essa identidade é chamada de fórmula do termo geral da P.A.
REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA P.A.
É de grande utilidade,
para a resolução de certos problemas, sabermos representar genericamente uma
P.A. Mostraremos a seguir algumas representações.
● P.A. de três termos:
(x, x + r, x + 2r), com
razão r ou
(x - r, x, x + r), com
razão r
● PA. de quatro termos:
(x, x + r, x + 2r, x +
3r), com razão r ou
(x - 3r, x - r, x + r, x
+ 3r), com razão 2r
SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.A.
PROPRIEDADE
Numa P.A. finita a soma
de dois termos eqüidistantes dos
extremos é igual à soma dos extremos.
CÁLCULOS DA SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.A
TEOREMA
A soma Sn dos n primeiros termos da
P.A. (a1, a2, a3, a4, ..., an,
...) é dada por:
$\boxed{S_n=\frac{(a_1+a_n).n}{2}}$
QUESTÕES DE CONCURSOS
01. O
primeiro a de uma P.A. de razão 13 satisfaz 0 < a ≤ 10. Se um dos termos da
progressão é 35, o valor de a é:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 3
02. Sabendo
que a seqüência (1 - 3x, x - 2, 2x + 1) é uma P.A., determine o valor de x.
a) -2 b) 0 c) 2 d) 4 e) 6
03. O
valor de x, de modo que x2, (x + 1)2 e (x + 3)2
formem, nessa ordem, uma P.A., é:
a) 3 b) -5 c) $\frac{- 1}{2}$ d)$\frac{- 7}{2}$ e) $\frac{3}{4}$
04. Na PA. (3+x, 10 - x, 9 + x, ...), a
razão vale:
a) x b) 3 + x c) 3 d) 2 e) 6
05. Os números reais a, b e c estão em PA. de razão r e a < b < c. O valor de a - 2b + c é:
a) r b) 0 c) a d) b e) - r
06..Em um restaurante, os preços de três pratos estão em
progressão aritmética de razão R$ 12,00. Se o primeiro e o segundo prato custam
juntos R$ 42,00, então o segundo e terceiro custam juntos :
(A) R$ 54,00
(B) R$ 60,00
(C) R$ 66,00
(D) R$ 68,00
(E) R$ 70,00
07. FCC – TRT/11a – 2012) Estão representados a seguir os quatro primeiros elementos de uma sequência de figuras formadas por quadrados.
Mantido o padrão, a 20a figura da sequência será formada por um total de quadrados igual a
(A) 100
(B) 96
(C) 88
(D) 84
a) 88 b) 89 c) 87 d) 86 e) 90
17. As progressões aritméticas (5, 8, 11, ...) e (3, 7, 11, ...) têm 100 termos cada uma. O número de termos iguais nas duas progressões é:
a) 15 b) 25 c) 1 d) 38 e) 42
18. O primeiro termo de uma P.A. é a1 = 1,4 e a razão é 0,3. O menor valor de n, tal que an > 6, é:
a) 15 b) 17 c) 19 d) 21 e) 23
19. O número de termos de uma P.A. cujo primeiro termo é a1 = 10x - 9y, o último, an = y e a razão, r = y - x, é:
a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 7
20. O número de múltiplos de 7 entre
1.000 e 10.000 é:
a)1.280 b) 1.284 c) 1.282 d) 1.286 e) 1.288
21. Interpolando 7 termos aritméticos
entre os números 10 e 98, obtém-se uma P.A. cujo termo central é:
a) 45 b) 52 c) 54 d) 55 e) 57
22. Três
números positivos estão
a) 2 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3
23. Três números estão
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
24. Três números em P.A. apresentam uma soma igual a 9 e uma soma de seus quadrados igual a 59. Esses três números são dados por:
a) -2, 3, 8 b) 2, 3, 4 c) 1,3,5 d) 0,3,6 e) n.r.a.
25. Os lados de um triângulo retângulo estão em P.A. de razão 3. Calcule-os.
a) 3, 6, 9 b) 6, 9, 12 c) 12, 15, 18 d) 9,12, 15 e) n.r.a.
26. Se o número 225 for dividido em 3 partes, formando uma P.A. de maneira que a terceira parte exceda à primeira de 140, essas partes serão:
a) primas entre si.
b) múltiplas de 5 e 10 ao
mesmo tempo.
c) números cujo produto é
54.375.
d) múltiplas de 5 e 3 ao
mesmo tempo.
e) indeterminadas.
27. Se os ângulos internos de um
triângulo estão em P.A. e o menor deles é a metade do maior, então o maior
mede:
a) 40° b) 50° c) 60° d) 70° e) 80°
28. Numa P.A., temos a7 = 5 e a15 = 61.
Então, a razão pertence ao intervalo:
a) [8, 10] b) [6, 8[ c) [4, 6[ d) [2, 4[ e) [0, 2[
29. A soma dos cinco primeiros termos de uma P.A. crescente é zero, e a soma de 9 unidades ao segundo termo nos dá o quinto termo. O valor do segundo termo é:
a) 0 b) -3 c) -6 d) 3 e) 6
30. Se a soma dos termos de uma P.A. de três termos é igual a 15, então o segundo termo da progressão vale:
a) 3 b) 0 c) 2 d)
5
e) não pode ser
calculado, pois não é dada a razão.
a) $\frac{13}{2}$ b) $\frac{11}{2}$
c)$\frac{7}{2}$ d) $\frac{15}{2}$
e) $\frac{3}{2}$
32.Numa
P.A. de 7 termos, a soma dos dois primeiros é 14 e a soma dos dois últimos é
a) 42 b) 45 c) 48 d) 51 e) n.r.a.
33. Sabendo que o quinto e o oitavo
termos de uma P.A. crescente são as raízes da equação
x2 - 14x + 40 = 0, seu terceiro termo é:
a) -2 b) 0 c) 2 d) 14 e) -35
34. O valor da expressão 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + 1.000 é:
a) 1.036 b) 5.050 c) 50.500 d) 500.500 e) 1.000.000
35. A soma dos números pares de
a) 7.432 b) 8200 c) 40.200 d) 80.200 e) 20.400
36. A soma dos múltiplos de 7 entre 20 e 1.000 é:
a) 70.539 b) 71.400 c) 71.540 d) 76.500 e) 71.050
37. Colocando
1.540 estudantes em filas, com 1 estudante na primeira, 2 na segunda, 3 na
terceira e assim sucessivamente, formando um triângulo, quantas filas teremos?
a) 55 b) 20 c) 154 d) 3 e) 200
38. Um teatro tem 18 poltronas na primeira fila, 24 na segunda, 30 na terceira e assim na mesma seqüência, até a vigésima fila, que é a última. O número de poltronas desse teatro é:
a) 92 b) 132 c)150 d)
1.320 e) 1.500
39.
a) 0,5 b) 1 c) 1,5 d) 2 e) 2,5
40. O primeiro termo de urna P.A. é -10
e a soma dos oito primeiros termos é
a)$-\frac{5}{7}$
b) $\frac{15}{7}$
c) 5
d) 28
e) 35
41. Se 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = 105, então o valor de n é:
a) 12
b) 14
c)11
d) 13
e) 15
42. Um
pêndulo, oscilando, percorre sucessivamente
a)
43. Se a soma dos n primeiros termos da P.A. (-40, -38, -36, ...) é -264, o valor mínimo de n é:
a) 6 b) 8 c) 15 d) 24 e) 33
44. Um
matemático (com pretensões a carpinteiro) compra uma peça de madeira de
comprimento suficiente para cortar os 20 degraus de uma escada de obra. Se os
comprimentos dos degraus formam uma P.A., se o primeiro degrau mede
a)
45. Um automóvel percorre no primeiro
dia de viagem uma certa distância x; no segundo dia, percorre o dobro do que
percorreu no primeiro dia; no terceiro dia, percorre o triplo do primeiro dia e
assim sucessivamente. Ao final de 20 dias, percorreu uma distância de
a)
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