ENEM - MED - PROGRESSÃO GEOMÉTRICA -PG

 

 

PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.G.)

 

DEFINIÇÃO

 

Progressão geométrica é toda seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo precedente (anterior) por uma constante q. O número q é chama do de razão da progressão geométrica.

Exemplos

 

a) (3, 6, 12, 24, 48, 96) é uma P.G. finita de razão q = 2.

b) (1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$,$\frac{1}{8}$,$\frac{1}{16}$,...) é uma P.G., infinita de razão q = $\frac{1}{2}$

c)   (2, -6, 18, -54, 162,...) é uma P.G. infinita de razão q = -3.

d)  (5,0,0,0,...) é uma P.G. infinita de razão q = 0.

e)  (0, 0, 0, ...) é uma P.G. infinita de razão indeterminada.

CLASSIFICAÇÃO DAS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

 

Uma P.G. é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a₁ > 0 e q > 1, ou a₁ < 0 e 0 < q < 1.

Exemplos

 

a) (4, 8, 16, 32, ...) é uma P.G. crescente de razão q = 2.

b)   (- 4 , - 2, -1 , $-\frac{1}{2}$, ...), é uma P.G. crescente de razão 

q= $\frac{1}{2}$   

Uma P.G. é decrescente quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que a₁ > 0 e 0 < q < 1, ou a₁ < 0 e q > 1.

EXEMPLO

a) (8, 4, 2, 1,$\frac{1}{2}$,...)  é uma razão P.G. decrescente de razão q =$\frac{1}{2}$

b)         (- 1, - 2, - 4, - 8, . . .) é uma P.G. decrescente de razão q = 2.

 

Uma P.G. é constante quando todos os seus termos são iguais. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que sua razão seja 1 ou que todos os seus termos sejam nulos.

 EXEMPLOS

 a)  (8, 8, 8, 8, ...) é uma P.G. constante de razão q = 1.

b) (0, 0, 0, 0, ...) é uma P.G. constante de razão indeterminada.

Uma P.G. é oscilante quando todos os seus termos são diferentes de zero e dois termos consecutivos quaisquer têm sinais opostos. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a₁ ≠ 0 e q < 0.

EXEMPLOS

a)  (3, -6, 12, -24, 48, -96,...) é uma P.G. oscilante de razão q = -2.

b)   (-1, $-\frac{1}{2}$ ,  $-\frac{1}{4}$,$-\frac{1}{8}$ , $-\frac{1}{16}$ , ...)  é uma P.G. oscilante de razão q =$-\frac{1}{2}$

EXEMPLO

Uma P.G. é quase-nula quando o primeiro termo é diferente de zero e todos os demais são iguais a zero. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que a₁ ≠ 0 e q = 0.

 

EXEMPLO

 

(8, 0, 0, 0, 0, ...) é uma P.G. quase-nula.

 

PROPRIEDADE

Uma seqüência de três termos, sendo o primeiro deles diferente de zero, é P.G. se, e somente se, o quadrado do termo médio é igual ao produto dos outros dois. Ou seja, sendo a ≠ 0, temos que:

(a, b, c) é P.G.  $b^2 = ac$

FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

$a_n = a_1 q^{n-1}$

REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA P.G.

Do mesmo modo, como no estudo da P.A., é importante sabermos representar uma P.G. genericamente. 

Mostraremos a seguir algumas representações.

P.G. de três termos:

● (x, xq, xq²), com razão q ou $(\frac{x}{q}, x,qx) com razão q, se q ≠ 0.

 

P.G. de quatro termos:

● (x, xq, xq², xq³), com razão ou ($\frac{x}{q^3}$, $\frac{x}{q}$, xq, $xq^3$), com razão q², se q ≠ 0

  

A SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.G

 

TEOREMA

  

Sendo S_n a soma dos n primeiros termos da P.G. (a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ...) de razão q, temos:

●          Se q = 1, então S_n = na₁;

●          Se q ≠1, então:

$\boxed{S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}}$

CÁLCULO DA SOMA DOS INFINITOS TEMOS DE UMA P.G.

 

TEOREMA

 

O limite da soma dos infinitos termos de uma P.G. (a₁, a₂, a₃, ...) de razão q, com -1 < q < 1, é dado por:

$\boxed{S_n=\frac{a_1}{1-q}}$

QUESTÕES DE CONCURSOS

 01. O trigésimo termo da sequência  ( $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{18}$, ...)  é:

A) $\frac{1}{6^{29}}$        B) $\frac{1}{2.3^{29}}$       C) 5        D) $\frac{61}{3}$   e)$\frac{29}{6}$

02.SEMEC-CARGO 04- JANEIRO DE 2013 [CETAP]

Em certo tipo de jogo, o prêmio pago a cada apostador é 15 vezes o valor de sua aposta.José resolveu manter o seguinte esquema de aposta: 1ª tentativa R$2,00 e, nas seguintes, formou uma progressão geométrica de razão 3. Na sétima tentativa, ele acertou. Qual o valor do prêmio recebido?

a) R$21.870,00

b)R$18.870,00

c)R$7.290,00

d)R$21.000,00

e)R$21.680,00

 

03. Os termos x, x + 9 e x + 45 estão em P.G. nessa ordem. A razão dessa progressão é:

a) 45                           b) 9

c) 4                             d) 3

e) - 4/3

 

04. Se x e y são positivos e se x, xy, 3x estão, nessa ordem, em P.G., então o valor de y é:

a) $\sqrt{2}$              b) 2                 c)  $\sqrt{3}$

d) 3                             e) 9

 

05. Os ângulos de um quadrilátero formam uma P.G. Sabendo que a medida, em graus, do último ângulo é nove vezes maior que a do segundo ângulo, este segundo ângulo mede:

a) -243°                      b) -27°             c) -18°

d) 9°                            e) 27°

 

06. Uma P.G. possui como primeiro termo 3 e razão positiva. Considerando que a média aritmética dos três primeiros   termos dessa P.G. é 21, podemos afirmar que sua razão vale:

a) 2                             b) 3

c) 4                             d) 5

e) 6

 

07.       A sequência (2x + 5, x + 1, $\frac{x}{2}$, ...), com x Î R, é uma P.G. de termos positivos. O décimo terceiro termo dessa sequência é:

a) 2                 b) 3^-10              c) 3                

d) 3¹⁰              e) 3¹²

 

08. Adicionando a mesma constante a cada um dos números 6, 10 e 15, nessa ordem, obtemos uma P.G. de razão:

a) $\frac{5}{4}$              b) $\frac{3}{2}$ 

c)$\frac{2}{3}$                           d) 4

e) 31

 

09.CEPERJ – PREF. BELFORD ROXO – 2011) A cada ano que passa o valor de um veículo automotor diminui de 10% em relação ao seu valor no ano anterior. Se p for o valor do veículo no 1º ano, o seu valor no 6º ano será:

a) (0,1)5 p

b) 5´ 0,1p

c) (0,9)5 p

d) 6´ 0,9p

e) 6´ 0,1p

10. O quarto termo da sequência geométrica ($\frac{3}{2}$, 1, $\frac{2}{3}$ ...) é:

a) $\frac{2}{9}$

b) $\frac{1}{3}$

c) $\frac{9}{4}$

d) $\frac{4}{9}$

e) 1

  

11. Se o oitavo termo de uma P.G. é $\frac{1}{2}$ e a razão é $\frac{1}{2}$ , o primeiro termo dessa progressão é:

 

a) 2^-1               b) 2                 c) 26        d) 28     e) $\sqrt[8]{\frac{1}{2}}$

12. O número de termos da P.G ($\frac{1}{9}$, $\frac{1}{3}$, 1, ...729) é.

a) 8                

b) 9

c) 10

d) 81

e) 4

13. Em uma P.G., o primeiro termo é 4 e o quinto termo é 324. A razão dessa P.G. é:

a) 3                             b) 4

c) 5                             d) 2

e) - 1/2

 

 14. O quinto e o sétimo termos de uma PG. de razão positiva valem, respectivamente, 10 e 16. O sexto termo dessa P.G. é:

a) 13        b) $10\sqrt{6}$        c)4                d)$4\sqrt{10}$        e) 10

 15. A média aritmética dos seis meios geométricos que podem ser inseridos entre 4 e 512 é.

a) 48                           b) 84

c) 128             d) 64

e) 96

 

 16.[Profº.Rosivaldo] Em uma P.G., o primeiro termo é 4 e o quinto termo é 324. A razão dessa P.G. é:

a) 3                             b) 4

c) 5                             d) 2

e) - 1/2

 

17 .SESAN (CARGO 21) 2012 [CETAP]

A média aritmética dos seis meios geométricos que podem ser inseridos entre 2 e 256 é:

a)30          b)36          c)40          d)42          e)48

 

18. O sexto termo de uma P.G. na qual dois meios geométricos estão inseridos entre 3 e - 24, tomados nessa ordem, é:

a) -48              b) -96

c) 48                           d) 96

e) 192

 

 19. Em uma P.G. de 7 termos, a soma dos dois primeiros é 8 e a soma dos dois últimos é 1.944. A razão da progressão é:

a) um número par, não-divisível por 4.

b) um número natural maior que 5.

c) um número irracional.

d) um número natural múltiplo de 3.

e) um número divisível por 4.

 

20. A soma do segundo, quarto e sétimo termos de uma P.G. é 370; a soma do terceiro, quinto e oitavo termos é 740. Podemos afirmar que o primeiro termo e a razão da PG são.

a) 3 e 2                       b) 4 e 2

c) 5 e 2                       d) 6 e 1, 5

e) n.r.a.

   21. (EBDA 2006/CETRO) Numa P.G, de termos positivos, O primeiro termo é igual a 5 e o sétimo termo é 320. Somando os dez primeiros termos dessa PG, obtém-se:

(A) 5.000      (B) 5.115      (C) 4.995      (D) 5.015      (E) 4.895

 

22. Qual a razão de uma P.G. de 3 termos em que a soma dos termos é 14 e o produto, 64?

a) q = 4                                   b) q = 2

c) q = 20 ou q =- ½                d) q = 4 ou q= 1

e)n.r.a.

 

   23. Três números cuja soma é 248 e a diferença entre o terceiro e o primeiro é 192 estão em P.G. de razão igual a:

a) 2                             b) 3                

c) 4                             d) 5

e) 6

 

   24. A soma de três números em P.G. crescente é 26 e o termo do meio é 6. O maior desses números é dado por:

a) 36               b) 18

c) 24                           d) 12

e) n.r.a.

25. Uma P.G. crescente de 4 termos tem a soma dos meios igual a 48 e a soma dos extremos igual a 112. O valor do primeiro termo é:

a) 6                      b) 5                     c) 3                             d) 2                  e) 4

 

   26.Somando os n primeiros termos da seqüência (1, -1, 1, -1, ...), encontramos:

a) n.                b) -n                c) 0           d) 1                    e) 0, quando n é par; 1, quando n é impar.

 

 27. (Administrador Júnior Petrobras 2010/CESGRANRIO) Qual é o número que deve ser somado aos números 1, 5 e 7 para que os resultados dessas somas, nessa ordem, formem três termos de uma progressão geométrica?

(A) – 9

(B) – 5

(C) – 1

(D) 1

(E) 9

 

28. Uma bactéria de determinada espécie divide-se em duas a cada 2h. Depois de 24h, qual será o número de bactérias originadas de uma bactéria?

a) 1.024                      b) 24       c) 4.096                      d) 12           e) 16.777.216

 

 29. Uma certa espécie de bactéria divide-se em duas a cada 20 min, e uma outra, a cada 30 minutos. Depois de 3 h, a relação entre o número de bactérias da primeira e o da segunda espécie, originadas por uma bactéria de cada espécie, é:

 

a) 8                          b) 4                c) 6                             d) 2/3                      e) 3/2

 

30. A soma dos seis primeiros termos da P.G.

($\frac{1}{3}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{12}$ , ...)

a) $\frac{12}{33}$                      c) $\frac{21}{33}$                      e) $\frac{2}{3}$

b) $\frac{15}{32}$                      d) $\frac{21}{32}$

 

31. Quantos termos da P.A. (9, 11,13, ...) devem ser somados a fim de que a soma seja igual à soma de nove termos da P.G. (3, -6, 12, -24, 48, ...)?

 

a) 19               b) 20            c) 18                           d) -7                e) n.d.a.

 

32. Cada golpe de uma bomba de vácuo extrai 10% do ar de um tanque; se a capacidade inicial do tanque é de 1 m³, após o quinto golpe, o valor mais próximo para o volume do ar que permanece no tanque é:

 

a) 0,590 m³                b) 0,500 m³

c) 0,656 m³                d) 0,600 m³

e) 0,621 m³

 

34. Em um certo tipo de jogo, o prêmio pago a cada acertador é 18 vezes o valor de sua aposta. Certo apostador resolve manter o seguinte esquema de jogo : aposta R$ 1 ,00 na primeira tentativa e, nas seguintes, aposta sempre o dobro do valor anterior. Na 11ª tentativa, ele acerta. Assinale a alternativa que completa a frase: "O apostador."

a) nessa tentativa apostou R$ 1.000,00.

b) investiu no jogo R$ 2.048,00.

c) recebeu de prêmio R$ 18.430,00.

d) obteve um lucro de R$ 16.385,00.

e) teve um prejuízo de R$ 1.024,00.

 

35. A soma dos termos de uma P.G. infinita é 3. Sabendo que o primeiro termo é igual a 2, então o quarto termo dessa P.G. é:

a) 2/27                        b) – 1/4

c) 2/3                          d) 1/27

e) 3/8