ENEM MED - ANÁLISE COMBINATÓRIA - ARRANJOS

ANÁLISE COMBINATÓRIA

ARRANJOS SIMPLES

A ferramenta arranjos simples é utilizada quando desejamos formar filas com p elementos escolhidos a partir de um grupo de m elementos, com p $\leq$ m. Se, por exemplo, de um grupo de oito (8) pessoas, devemos dispor cinco (5) delas em fila. De quantos modos podemos realizar tal processo?

Já sabemos pelo principio multiplicativo ou principio fundamental da contagem que podemos formar:

Desse modo obtemos 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6720 filas com cinco pessoas escolhidas dentre oito. Podemos concluir dessa maneira que Arranjos é uma aplicação do principio multiplicativo para formar filas quando for necessário escolher alguns elementos de um grupo para formar tal Fila. Simbolizaremos o resultado desse exemplo como $A_{8,5}$ ( Arranjo 8 elementos tomados 5 a 5), isto é, formamos uma fila com cinco elementos selecionados de um grupo de oito. Também podemos encontrar o símbolo de arranjo como

$P_{5}^{8}$  

Para generalizar, se desejarmos dispor p elementos em fila escolhidos dentre de m elementos, com p $\leq$ m, podemos realizar esse processo de

$\boxed{A_{m,p}=\frac{m!}{(m-p)!}}$

EXERCÍCIOS

01. Roberta quer presentear Júlia e Natália. Resolveu, após investigar os gostos pessoas de suas duas amigas, que o presente de cada uma seria DVD,s de música. Na loja especializada há de 10 opções para adquirir os dois presentes. Sabendo disso, de quantos modos diferentes Roberta pode presentear Júlia e Natália?

02. De quantas formas pode-se formar uma seqüência com 9 elementos distintos tomados a partir de 12?

03. Resolva a equação $\frac{p!}{(p-2)!}=30.$

04. Resolva a equação $A_{5,p} = 60$.

05. Quantos são os arranjos de 8 elementos tomados de 3 a 3?

06. Calcule o valor de n na equação $A_{n,2}=20$.

07. (FUB 2009 / CESPE) A quantidade de números naturais de 3 algarismos em que todos os algarismos são distintos é superior a 700(Errado)

08. (FJP) Pode-se permutar m objetos de 24 maneiras diferentes. Suponha que se pretenda arranjar esses m objetos dois a dois. Nesse caso, de quantas maneiras diferentes esses m objetos poderão ser arranjados?

a) 10 b) 12

c) 14 d) 16

Exercícios propostos

1. ( UFRN ) A quantidade de número de dois algarismos distintos que se pode formar com os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9 é igual a:

a. 5

b. 10

c. 15

d. 20

e. 25

2. ( MACK - SP ) Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. O número de modos distintos das pessoas ocuparem as cadeiras é:

a. 1680

b. 8 !

c. 8 . 4 !

d. $\frac{8 !}{4}$

e. 32

3. ( PUC - MG ) O número inteiro positivo que verifica a equação $A_{n,3}$ = 3 . ( n - 1 ) é

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

e. 5

4. As finalista do concurso Miss Universo, são Miss Brasil, Miss Japão, Miss Venezuela, Miss Itália e Miss França. De quantas formas os juizes poderão escolher o primeiro, o segundo e terceiro lugar neste concurso ?

a. 60

b. 45

c. 125

d. 81

e. 120

5. ( PUC - SP ) A quantidade de números de quatro algarismos distintos que, podem se pode formar com os algarismos 1, 2, 4, 7, 8 e 9 é:

a. 300

b. 340

c. 360

d. 380

e. 400

6. A quantidades de números impares de 4 algarismos distintos, que se podem formar com os algarismos 1, 2, 4, 7, 8 e 9 é :

a. 150

b. 360

c. 170

d. 200

e. 180

7. ( PUC - SP ) Numa sala há 5 lugares e 7 pessoas. De quantos modos diferentes essas pessoas podem ser colocadas, ficando 5 sentadas e 2 em pé ?

a. 5040

b. 21

c. 120

d. 2520

e. 125

8. ( UEL - PR ) Num pequeno pais, as chapas dos automóveis tem duas letras distintas seguidas de 3 algarismos sem repetição. Considerando-se o alfabeto com 26 letras, o número de chapas possíveis de se firmar é:

a. 1370

b. 39 000

c. 468 000

d. 676 000

e. 3 276 000

9. ( PUC - PR ) O número de placas de veículos que poderão ser fabricadas utilizandose das 26 letras do alfabeto latino e dos 10 algarismos arábicos, cada placa contendo três letras e quatro algarismos, não podendo haver repetição de letras e algarismos é:

a. 67 600 000

b. 78 624 000

c. 15 765 700

d. 1 757 600

e. 5 760 000

10. ( PUC - SP ) A placa de um automóvel é formada por duas letras seguidas de 4 algarismos. Com letras A e R e aos algarismos impares, quantas placas diferentes podem ser constituídas, de modo que a placa não tenha nenhum algarismo repetido, e nenhuma letra repetida :

a. 480

b. 360

c. 120

d. 240

e. 200

11. ( UF - CE ) A quantidade de número inteiros compreendidos entre 30 000 e 65 000 que podemos formar utilizando-se somente os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7 de modo que não fiquem algarismos repetidos é:

a. 48

b. 66

c. 96

d. 120

e. 72

12. ( CEFET - PR ) A quantidade de números formados por 4 algarismos distintos, escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 que contem 1 e 2 e não contem o 7, é:

a. 284

b. 422

c. 144

d. 120

e. 620