ANÁLISE COMBINATÓRIA
FATORIAL ( ! )
ANÁLISE COMBINATÓRIA
A Análise Combinatória estuda o cálculo da quantidade de agrupamentos distintos que podem ser formados com os elementos de um determinado conjunto Exemplo: quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos ímpares?
Você deve ter sempre em mente que a Análise Combinatória é uma análise quantitativa, ou seja, a finalidade dos problemas geralmente será calcular a quantidade de grupamentos, e não propriamente listar esses grupamentos.
Apenas eventualmente você precisará listar esses grupamentos.
O nosso estudo neste livro se fará baseando-nos inicialmente no Princípio Fundamental da Contagem, procurando entender perfeitamente o cálculo e a formação dos diversos tipos de agrupamentos.
Por esse perfeito entendimento, facilmente compreenderemos as fórmulas a serem usadas nas resoluções dos problemas.
E aí teremos o estudo completo: o Princípio Fundamental da Contagem, permitindo o perfeito entendimento da matéria, e as fórmulas para maior velocidade na resolução dos problemas.
FATORIAL
É comum, nos problemas de contagem, calcularmos o produto de uma multiplicação cujos fatores são números naturais consecutivos. Para facilitar esse trabalho, vamos adotar um símbolo chamado fatorial.
Sendo n um número inteiro maior que 1, define-se fatorial de n como o produto dos n números naturais consecutivos de n a 1. Indica-se n!.
n! (Lê-se: n fatorial ou fatorial de n.)
n! = n(n - 1) (n - 2) ... 3 . 2 . 1, sendo
n Є N e n > 1
De acordo com a definição:
2! = 2 . 1 = 2
3! = 3 . 2 . 1 = 6
4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
CONSEQÜÊNCIAS
1ª Conseqüência: Podemos escrever para qualquer n (n Є N) e n>2:
n! = n (n - 1)!
Observe que na igualdade 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1, temos:

Assim, 8! = 8 . 7!
2ª conseqüência: Vamos estender o conceito de fatorial de n para n = 1 e n = 0. Em cada extensão deve-se conservar a propriedade n! = n(n – 1)!
Se n = 2 \rightarrow n! = n(n – 1)! \rightarrow 2! = 2 . (2 - 1)!
2! = 2 . 1!
2 . 1 = 2 . 1! (dividindo os dois membros por 2)
1 = 1! ou 1! = 1
Se n = 1 \rightarrow n! = n (n - 1)! \rightarrow 1! = 1 . (i - 1)!
1! = i . 0!
1 = 1 . 0!
Para que essa igualdade seja verdadeira, definimos: 0! = 1
1. ( PUC - SP ) A expressão \frac{n!}{(n+2)!} é igual a:
a.\frac{n}{2}
b.\frac{1}{(n+2).(n+1)}
c. \frac{n}{(n+2).(n+1)}
d.\frac{1}{n}
e.\frac{n}{(n+2)}
2. (FMABC - SP ) Simplifique \frac{101!+102!}{100!}
a. 101 103
b. 102 !
c. 100 000
d. 101 !
e. 10 403
3. ( FMT - SP ) Simplificando-se a expressão \frac{(n+1)!.(n+2)}{(n-1)!}, obtém-se:
a. 2
b. ( n+1) . ( n+2)
c. n . ( n+1 ) . ( n + 2 )
d. n . ( n + 2 )
e. \frac{(n+1).(n+2)}{(n-1)}
4. ( PUC - SP ) Se ( n - 6 )! = 720 então:
a. n = 12
b. n = 11
c. n = 10
d. n = 13
e. n = 14
5. Os valores de x que verificam a expressão \frac{(x+2)!}{x!}=20 são:
a. 3 ou -6
b. 6
c. -3 ou 6
d. 3
e. -3
6. ( UFPA ) Simplificando \frac{(n+1)!+n!}{(n+2)!} , obtém-se:
a.\frac{1}{n+2}
b..\frac{n!}{n+1}
c..\frac{1}{(n+2).(n+1)}
d.\frac{1}{n+1}
e.\frac{n!}{n+2}
7. O conjunto solução da equação (x!)^2 = 36 é:
a. { 3, -3 }
b. { 6, -6 }
c. { 3, 6 }
d. { 6 }
e. { 3 }
8. ( FDBEF - DF ) Sendo \frac{(n+1).n!}{(n+2)}=\frac{1}{10} , e tendo em vista que n > 0, o valor de n é:
a. 6
b. 8
c. 10
d. 12
e. 9
9. ( PUC - PR ) A soma das raízes da equação ( 5x - 7 )! = 1 vale:
a. 5
b. 7
c. 12
d. 3
e. 4
10. ( UEL - PR ) Se o número natural n é tal que \frac{n!+2.(n-1)!}{(n-2)!}=18, então n é um
número:
a. menor que 3
b. divisível por 5
c. divisível por 2
d. maior que 10
e. múltiplo de 7
11. ( CEFET - PR ) O valor de n para que \frac{n!}{n+1}=(n+1)! é:
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
12. ( FGV - SP ) A expressão \frac{(K!)^3}{[(K-1)!]^2} , é igual a:
a. K^3
b. k^3 ( K - 1 )!
c. [(K-1)!]^2
d. (K!)^2
e. k^3.[(K-1)!]^2
13. ( FG - SP ) n^2.(n-2)!(1-\frac{1}{n}) vale, para n \geq 2
a. n!
b. (n+1)!
c. (n-1)!
d. (n+1)!(n-1)!
e. nda
14. ( CEFET - PR ) A expressão fatorada de \frac{3n![3(n+1)]!}{(3n)!3(n+1)!} , é:
a. 1
b.\frac{n+1}{n!}
c..\frac{3n+1}{n+1}
d. 3 . ( 3n + 2 ) ( 3n + 1 )
e.\frac{(3n+2).(3n+1)}{n!}
15. ( PUC - RS ) A expressão ( n - 1 )! [ ( n+1)! - n!] eqüivale a:
a. n!
b. (n-1)!
c. (n+1)!
d. (n!)2
e. [(n-1)!]2
16. ( UFCE ) A soma e o produto das raízes da equação ( x + 1 )! = x ! + 6x são:
a. 3 e 6
b. 3 e 3
c. 6 e 1
d. 3 e 0
a.\frac{n}{2}
b.\frac{1}{(n+2).(n+1)}
c. \frac{n}{(n+2).(n+1)}
d.\frac{1}{n}
e.\frac{n}{(n+2)}
2. (FMABC - SP ) Simplifique \frac{101!+102!}{100!}
a. 101 103
b. 102 !
c. 100 000
d. 101 !
e. 10 403
3. ( FMT - SP ) Simplificando-se a expressão \frac{(n+1)!.(n+2)}{(n-1)!}, obtém-se:
a. 2
b. ( n+1) . ( n+2)
c. n . ( n+1 ) . ( n + 2 )
d. n . ( n + 2 )
e. \frac{(n+1).(n+2)}{(n-1)}
4. ( PUC - SP ) Se ( n - 6 )! = 720 então:
a. n = 12
b. n = 11
c. n = 10
d. n = 13
e. n = 14
5. Os valores de x que verificam a expressão \frac{(x+2)!}{x!}=20 são:
a. 3 ou -6
b. 6
c. -3 ou 6
d. 3
e. -3
6. ( UFPA ) Simplificando \frac{(n+1)!+n!}{(n+2)!} , obtém-se:
a.\frac{1}{n+2}
b..\frac{n!}{n+1}
c..\frac{1}{(n+2).(n+1)}
d.\frac{1}{n+1}
e.\frac{n!}{n+2}
7. O conjunto solução da equação (x!)^2 = 36 é:
a. { 3, -3 }
b. { 6, -6 }
c. { 3, 6 }
d. { 6 }
e. { 3 }
8. ( FDBEF - DF ) Sendo \frac{(n+1).n!}{(n+2)}=\frac{1}{10} , e tendo em vista que n > 0, o valor de n é:
a. 6
b. 8
c. 10
d. 12
e. 9
9. ( PUC - PR ) A soma das raízes da equação ( 5x - 7 )! = 1 vale:
a. 5
b. 7
c. 12
d. 3
e. 4
10. ( UEL - PR ) Se o número natural n é tal que \frac{n!+2.(n-1)!}{(n-2)!}=18, então n é um
número:
a. menor que 3
b. divisível por 5
c. divisível por 2
d. maior que 10
e. múltiplo de 7
11. ( CEFET - PR ) O valor de n para que \frac{n!}{n+1}=(n+1)! é:
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
12. ( FGV - SP ) A expressão \frac{(K!)^3}{[(K-1)!]^2} , é igual a:
a. K^3
b. k^3 ( K - 1 )!
c. [(K-1)!]^2
d. (K!)^2
e. k^3.[(K-1)!]^2
13. ( FG - SP ) n^2.(n-2)!(1-\frac{1}{n}) vale, para n \geq 2
a. n!
b. (n+1)!
c. (n-1)!
d. (n+1)!(n-1)!
e. nda
14. ( CEFET - PR ) A expressão fatorada de \frac{3n![3(n+1)]!}{(3n)!3(n+1)!} , é:
a. 1
b.\frac{n+1}{n!}
c..\frac{3n+1}{n+1}
d. 3 . ( 3n + 2 ) ( 3n + 1 )
e.\frac{(3n+2).(3n+1)}{n!}
15. ( PUC - RS ) A expressão ( n - 1 )! [ ( n+1)! - n!] eqüivale a:
a. n!
b. (n-1)!
c. (n+1)!
d. (n!)2
e. [(n-1)!]2
16. ( UFCE ) A soma e o produto das raízes da equação ( x + 1 )! = x ! + 6x são:
a. 3 e 6
b. 3 e 3
c. 6 e 1
d. 3 e 0
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Segue alguns símbolos, caso necessitem utilizá-los:
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α β γ δ ∆ λ μ Ω ο ρ φ χ ψ ξ ε η θ π ∂ ∑ ∏ ℮ אօ ∞ ℝ ℕ ℚ ℤ Ø f◦g
½ ¼ ¾ ½ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ¹ º ª ₁ ₂ ₃ ₄ ≈ ≠ ≡ ∀ ∃ ⇒ ⇔ → ↔
∈∋∧ ∨ ⊂ ⊃ ∩ ∪ − + × ± ∓ ÷ √ ∛ ∜ ⊿∟ ∠→ ↑ ↓ ↕ ← ≤ ≥
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√ ∇ ∂ ∑ ∏ ∫ ≠ ≤ ≥ ∼ ≈ ≅ ≡ ∝ ⇒ ⇔ ∈ ∉ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇ \ ∩ ∪ ∧ ∨ ∀ ∃ ℜ ℑ