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ANÁLISE COMBINATÓRIA

FATORIAL ( ! )

ANÁLISE COMBINATÓRIA

A Análise Combinatória estuda o cálculo da quantidade de agrupamentos distintos que podem ser formados com os elementos de um determinado conjunto Exemplo: quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos ímpares?

Você deve ter sempre em mente que a Análise Combinatória é uma análise quantitativa, ou seja, a finalidade dos problemas geralmente será calcular a quantidade de grupamentos, e não propriamente listar esses grupamentos.

Apenas eventualmente você precisará listar esses grupamentos.

O nosso estudo neste livro se fará baseando-nos inicialmente no Princípio Fundamental da Contagem, procurando entender perfeitamente o cálculo e a formação dos diversos tipos de agrupamentos.

Por esse perfeito entendimento, facilmente compreenderemos as fórmulas a serem usadas nas resoluções dos problemas.

E aí teremos o estudo completo: o Princípio Fundamental da Contagem, permitindo o perfeito entendimento da matéria, e as fórmulas para maior velocidade na resolução dos problemas.



FATORIAL



É comum, nos problemas de contagem, calcularmos o produto de uma multiplicação cujos fatores são números naturais consecutivos. Para facilitar esse trabalho, vamos adotar um símbolo chamado fatorial.

Sendo n um número inteiro maior que 1, define-se fatorial de n como o produto dos n números naturais consecutivos de n a 1. Indica-se n!.



n! (Lê-se: n fatorial ou fatorial de n.)



n! = n(n - 1) (n - 2) ... 3 . 2 . 1, sendo

n Є N e n > 1



De acordo com a definição:



2! = 2 . 1 = 2

3! = 3 . 2 . 1 = 6

4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24



CONSEQÜÊNCIAS



1ª Conseqüência: Podemos escrever para qualquer n (n Є N) e n>2:



n! = n (n - 1)!



Observe que na igualdade 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1, temos:









Assim, 8! = 8 . 7!



2ª conseqüência: Vamos estender o conceito de fatorial de n para n = 1 e n = 0. Em cada extensão deve-se conservar a propriedade n! = n(n – 1)!

Se n = 2 $\rightarrow$ n! = n(n – 1)! $\rightarrow$ 2! = 2 . (2 - 1)!

2! = 2 . 1!

2 . 1 = 2 . 1! (dividindo os dois membros por 2)

1 = 1! ou 1! = 1



Se n = 1 $\rightarrow$ n! = n (n - 1)! $\rightarrow$ 1! = 1 . (i - 1)!

1! = i . 0!

1 = 1 . 0!



Para que essa igualdade seja verdadeira, definimos: 0! = 1

1. ( PUC - SP ) A expressão $\frac{n!}{(n+2)!}$ é igual a:

a.$\frac{n}{2}$

b.$\frac{1}{(n+2).(n+1)}$

c. $\frac{n}{(n+2).(n+1)}$

d.$\frac{1}{n}$

e.$\frac{n}{(n+2)}$

2. (FMABC - SP ) Simplifique $\frac{101!+102!}{100!}$

a. 101 103

b. 102 !

c. 100 000

d. 101 !

e. 10 403

3. ( FMT - SP ) Simplificando-se a expressão $\frac{(n+1)!.(n+2)}{(n-1)!}$, obtém-se:

a. 2

b. ( n+1) . ( n+2)

c. n . ( n+1 ) . ( n + 2 )

d. n . ( n + 2 )

e. $\frac{(n+1).(n+2)}{(n-1)}$

4. ( PUC - SP ) Se ( n - 6 )! = 720 então:

a. n = 12

b. n = 11

c. n = 10

d. n = 13

e. n = 14

5. Os valores de x que verificam a expressão $\frac{(x+2)!}{x!}=20$ são:

a. 3 ou -6

b. 6

c. -3 ou 6

d. 3

e. -3

6. ( UFPA ) Simplificando $\frac{(n+1)!+n!}{(n+2)!}$ , obtém-se:

a.$\frac{1}{n+2}$

b..$\frac{n!}{n+1}$

c..$\frac{1}{(n+2).(n+1)}$

d.$\frac{1}{n+1}$

e.$\frac{n!}{n+2}$

7. O conjunto solução da equação $(x!)^2$ = 36 é:

a. { 3, -3 }

b. { 6, -6 }

c. { 3, 6 }

d. { 6 }

e. { 3 }

8. ( FDBEF - DF ) Sendo $\frac{(n+1).n!}{(n+2)}=\frac{1}{10}$ , e tendo em vista que n > 0, o valor de n é:

a. 6

b. 8

c. 10

d. 12

e. 9

9. ( PUC - PR ) A soma das raízes da equação ( 5x - 7 )! = 1 vale:

a. 5

b. 7

c. 12

d. 3

e. 4

10. ( UEL - PR ) Se o número natural n é tal que $\frac{n!+2.(n-1)!}{(n-2)!}=18$, então n é um

número:

a. menor que 3

b. divisível por 5

c. divisível por 2

d. maior que 10

e. múltiplo de 7

11. ( CEFET - PR ) O valor de n para que $\frac{n!}{n+1}=(n+1)!$ é:

a. 0

b. 1

c. 2

d. 3

e. 4

12. ( FGV - SP ) A expressão $\frac{(K!)^3}{[(K-1)!]^2}$ , é igual a:

a. $K^3$

b. $k^3 ( K - 1 )!$

c.$ [(K-1)!]^2$

d. $(K!)^2$

e. $k^3.[(K-1)!]^2$

13. ( FG - SP ) $n^2.(n-2)!(1-\frac{1}{n})$ vale, para n $\geq$ 2

a. n!

b. (n+1)!

c. (n-1)!

d. (n+1)!(n-1)!

e. nda

14. ( CEFET - PR ) A expressão fatorada de $\frac{3n![3(n+1)]!}{(3n)!3(n+1)!}$ , é:

a. 1

b.$\frac{n+1}{n!}$

c..$\frac{3n+1}{n+1}$

d. 3 . ( 3n + 2 ) ( 3n + 1 )

e.$\frac{(3n+2).(3n+1)}{n!}$

15. ( PUC - RS ) A expressão ( n - 1 )! [ ( n+1)! - n!] eqüivale a:

a. n!

b. (n-1)!

c. (n+1)!

d. (n!)2

e. [(n-1)!]2

16. ( UFCE ) A soma e o produto das raízes da equação ( x + 1 )! = x ! + 6x são:

a. 3 e 6

b. 3 e 3

c. 6 e 1

d. 3 e 0