COMBINAÇÃO LINEAR

        
Uma expressão da forma $a_1u_1$ + $a_2u_2$+ . . . +$a_nu_n$ = w, onde $a_1$ , $a_2$ , . . . , $a_n$ são escalares e $u_1$, $u_2$, . . .,$u_n$ e w, vetores do ? n chama-se combinação linear.
Em outras palavras, sejam V um espaço vetorial real ( ou complexo), $v_1$, $v_2$,...,$v_n$ ? V e $a_1$ ,...,$a_n$, números ? (ou complexos).
Então o vetor é um elemento de V, e dizemos que “v” é uma combinação linear de $v_1$,...,$v_n$.


W = [ $v_1$,...,$v_n$] é chamado subespaço quando por $v_1$,..., $v_n$.


Por exemplo, os vetores $e_1$ = (1, 0, 0); $e_2$ = (0, 1, 0) e $e_3$ = (0, 0, 1) geram o espaço vetorial $\Re^3$, pois qualquer vetor (a, b, c) ? $\Re^3$ pode ser escrito como combinação linear dos $e_i$, especificamente:


(x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)


Sendo u = (x, y, z) se o sistema de equações lineares resultante da combinação linear não for consistente, isto é, não tiver solução, então o vetor não pode ser escrito como combinação linear, logo não gera um espaço.


Exemplos.:
1) Sejam e os escalares $a_1$ = 2 e $a_2$ = -1. Podemos encontrar um vetor = (x, y) que seja combinação linear de
(x, y) = 2.(3, 1) + (-1).(2, 4) = (4, -2)


2) Sejam os vetores = (1, -3, 2) e = (2, 4, -1).
O vetor = (-4, -18, 7) pode ser escrito como combinação linear de .
(-4, -18, 7) = a1.(1, -3, 2) + a2.(2, 4, -1)
Mandem sugestões de Tópicos da Algebra I e II que comentaremos aqui

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